Ableitung des Satzes von Birkhoff

Das Theorem von Birkhoff in 3+1D ist z. B. (auf physikalisch strengem Niveau) in Lit. 1 und Ref.-Nr. 2. (Ein eleganter äquivalenter 1-seitiger Beweis des Birkhoffschen Theorems wird in Ref. 3-4 gegeben.) Stellen Sie sich vor, wir hätten es geschafft zu argumentieren$^1$dass die Metrik die Form von Gl. (5.38) in Lit. 1 oder Gl. (7.13) in Lit. 2:

$$ds^2~=~-e^{2\alpha(r,t)}dt^2 + e^{2\beta(r,t)}dr^2 +r^2 d\Omega^2. \tag{A}$$

Es ist eine einfache Übung, den entsprechenden Ricci-Tensor zu berechnen$R_{\mu\nu}$, siehe Gl. (5.41) in Lit. 1 oder Gl. (7.16) in Lit. 2. Die Notation ist hier

$$x^0\equiv t, \quad x^1\equiv r, \quad x^2\equiv\theta, \quad\text{and} \quad x^3\equiv\phi.$$ Die Einstein-Gleichungen im Vakuum lesen

$$R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}~.\tag{E}$$

Die Argumentation lautet nun wie folgt.

1. Von

   $$0~\stackrel{(E)}{=}~R_{tr}~=~\frac{2}{r}\partial_t\beta$$ folgt dem$\beta$ist unabhängig von$t$.

2. Von

   $$0~\stackrel{(A)}{=}~\Lambda\left(e^{2(\beta-\alpha)} g_{tt}+g_{rr} \right) ~\stackrel{(E)}{=}~ e^{2(\beta-\alpha)} R_{tt}+R_{rr}~=~\frac{2}{r}\partial_r(\alpha+\beta)$$ folgt dem$\partial_r(\alpha+\beta)=0$. Mit anderen Worten, die Funktion$f(t):=\alpha+\beta$ist unabhängig von$r$.

3. Definieren Sie eine neue Koordinatenvariable$T:=\int^t dt'~e^{f(t')}$. Dann die Metrik$(A)$wird

   $$ds^2~=~-e^{-2\beta}dT^2 + e^{2\beta}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\tag{B}$$

4. Benennen Sie die neue Koordinatenvariable um$T\to t$. Dann Gl.$(B)$entspricht Einstellung$\alpha=-\beta$in Gl.$(A)$.

5. Von

   $$\Lambda r^2~\stackrel{(B)}{=}~\Lambda g_{\theta\theta} ~\stackrel{(E)}{=}~ R_{\theta\theta} ~=~1+e^{-2\beta}\left(r\partial_r(\beta-\alpha)-1\right) ~=~1-\partial_r(re^{-2\beta}),$$ es folgt dem $$re^{-2\beta}~=~r-R-\frac{\Lambda}{3}r^3$$ für eine echte Integrationskonstante$R$. Mit anderen Worten, wir haben die Schwarzschild-(anti)de-Sitter-Lösung hergeleitet , $$e^{2\alpha}~=~e^{-2\beta}~=~1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2.$$

Schließlich, wenn wir zurück zum Original wechseln$t$Koordinatenvariable, die Metrik$(A)$wird

$$\begin{align}ds^2~=~&-\left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)e^{2f(t)}dt^2 \cr &+ \left(1-\frac{R}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)^{-1}dr^2 +r^2 d\Omega^2.\end{align}\tag{C}$$

Interessant ist die Metrik$(C)$ist die allgemeinste Metrik des Formulars$(A)$die Einsteins Vakuumgleichungen erfüllt. Die einzige Freiheit ist die Funktion$f=f(t)$, was die Freiheit widerspiegelt, die neu zu parametrieren$t$koordinieren variabel.

Verweise:

1. Sean Carroll, Raumzeit und Geometrie: Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie , 2003.

2. Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity , Kapitel 7. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

3. Eric Poisson, Toolkit eines Relativisten, 2004; Abschnitt 5.1.1.

4. Eric Poisson, Ein Fortgeschrittenenkurs in GR ; Abschnitt 5.1.1.

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$^1$Hier zeigen wir der Einfachheit halber, wie Ref. 1 und Ref.-Nr. 2 reduzieren von

$$\begin{align} ds^2~=~&g_{aa}(a,r)~da^2 +2g_{ar}(a,r)~ da~dr \cr &+g_{rr}(a,r)~ dr^2 +r^2d\Omega^2\end{align} \tag{5.30/7.5}$$ zu $$ds^2~=~m(r,t)~dt^2 +n(r,t)~dr^2 +r^2d\Omega^2. \tag{5.37/7.12}$$ Beweis: Definiere eine Funktion $$n~:=~g_{rr}-\frac{g_{ar}^2}{g_{aa}}$$ und ein ungenaues Differential $$\omega~:=~da+\frac{g_{ar}}{g_{aa}}dr.$$ Dann Gl. (5.30/7.5) lautet $$ds^2~=~g_{aa}\omega^2 +n~dr^2 +r^2d\Omega^2.$$ Die Funktion$\sqrt{m}$in Gl. (5.37/7.12) kann als integrierender Faktor zur Bildung des Differentials angesehen werden$\sqrt{\frac{g_{aa}}{m}}\omega$genau, dh von der Form$dt$für irgendeine Funktion$t(a,r)$.

Tun Sie dies rigoros, indem Sie einen Ansatz für Ihre Metrik verwenden und ihn in die üblichen Einstein-Feldgleichungen im Vakuum oder etwas "Topologischeres" einfügen?

Wenn früher, im häufigsten Ansatz,

$ds^2 = e^{f(t,r)} dt^2 - e^{g(t,r)} dr^2 - r^2 d\Omega^2$

Ihre metrische Unabhängigkeit von der Zeit t erhalten Sie mit der

{01}te Ricci-Tensorkomponente, die eine Zeitableitung einer Ihrer Metrikkomponenten auf 0 setzt. Algebraische Kombinationen der anderen Ricci-Tensorkomponenten geben Ihnen die Beziehungen zwischen den Funktionen der Metrikkomponenten$f$und$g$, irgendwo auf dem Weg sollten Sie so etwas wie bekommen$\frac{d}{dt}[f(t,r)-g(t,r)] = 0$. Das gibt Ihnen Ihre zeitliche Unabhängigkeit$g_{11}$.