Ermittlung der de-Sitter-Schwarzschild-Metrik

Ihre Metrik ist:

$$d s^{2}=-e^{2 \Phi(r)} d t^{2}+e^{2 \Lambda(r)} d r^{2}+r^{2} d \Omega^{2}$$

und Einsteins Gleichung:

$$G_{μν} = -\frac{3}{L^{2}}g_{μν}$$

(Vorausgesetzt, dass$L$ist der dS-Radius, dann stellt die Gleichung eine AdS-Raumzeit dar, nicht dS. Für eine dS Raumzeit$G_{μν} = \frac{3}{L^{2}}g_{μν}$). Offensichtlich gibt es zwei unbekannte Funktionen und man erwartet zwei unabhängige Gleichungen (die$θθ$Gleichung verwandt ist$rr$Und$tt$). Der$tt,rr,θθ$Gleichungen sind die folgenden:

$$\frac{e^{-2 (\Lambda (r)+\Phi (r))} \left(-\left(L^2+3 r^2\right) e^{2 \Lambda (r)}-2 L^2 r \Lambda '(r)+L^2\right)}{L^2 r^2} =0$$

$$\frac{e^{-4 \Lambda (r)} \left(\left(L^2+3 r^2\right) e^{2 \Lambda (r)}-L^2 \left(2 r \Phi '(r)+1\right)\right)}{L^2 r^2}=0$$

$$\frac{\frac{3 r}{L^2}+e^{-2 \Lambda (r)} \left(\left(r \Phi '(r)+1\right) \left(\Lambda '(r)-\Phi '(r)\right)-r \Phi ''(r)\right)}{r^3} =0$$

Die erste Gleichung ist eine Differentialgleichung für$Λ$. Durch Integrieren erhalten wir:

$$\Lambda (r)=-\frac{1}{2} ln \left(\frac{-c_1+L^2 r+r^3}{L^2 r}\right)$$

Mit obigem wird die zweite Gleichung gelöst:

$$\Phi (r)=\frac{1}{2} \left(ln \left(-c_1+L^2 r+r^3\right)-ln (r)\right)+c_2$$

,Wo$c_1,c_2$sind Integrationskonstanten und wenn wir die Ergebnisse in die dritte Gleichung einsetzen, können wir das sehen$Λ,Φ$die Gleichung erfüllen. Die Metrik lautet:

$$d s^{2}=-(\frac{e^{2 c_2} \left(-c_1+L^2 r+r^3\right)}{r}) d t^{2}+(\frac{L^2 r}{-c_1+L^2 r+r^3})d r^{2}+r^{2} d \Omega^{2}$$

Für das entsprechende asymptotische Verhalten identifizieren wir:

$$c_2 = - ln(L^2)/2$$

und Vergleich mit der Vakuumlösung:$c_1 = ML^2$.

Jetzt nimmt das Linienelement die Form an:

$$ds^{2} =- (1-M/r +\frac{r^{2}}{L^2})dt^2 + (1-M/r +\frac{r^{2}}{L^2})^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2$$

Wenn Sie nie versucht haben , mindestens eine der berühmten Lösungen für Einsteins Gleichungen zu erhalten ( alle Berechnungen von Hand durchzuführen ), empfehle ich Ihnen dringend, dies zu tun.