Geschlossener Ausdruck für die Position als Funktion der Zeit eines Objekts, das direkt aus der Unendlichkeit in ein Schwarzes Loch fällt

Question

Geschlossener Ausdruck für die Position als Funktion der Zeit eines Objekts, das direkt aus der Unendlichkeit in ein Schwarzes Loch fällt

Dustin Soodak

Gegeben ein Schwarzschild-Radius $r_s=2 G M/c^2$ , die Fluchtgeschwindigkeit (gleich der Fallgeschwindigkeit aus dem Unendlichen) sein $\sqrt{2 G M/r}=\sqrt{r_s c^2/r}$ wobei der radiale Abstand "r" der Punkt ist, an dem sich der gemessene Umfang befindet $2 \pi r$ . Nehmen wir an, wir setzen seine Geschwindigkeit gleich der lokalen Fluchtgeschwindigkeit, wenn wir unsere Sonde aus relativ sicherer Entfernung in das Schwarze Loch werfen $100 r_s$ .

Je näher Sie dem Ereignishorizont kommen, desto größer wird der Raum in radialer Richtung $1/\sqrt{1−r_s/r}$ so auch wenn seine Geschwindigkeit näher kommt $c$ relativ zu einem äußeren stationären Beobachter verlangsamt es sich asymptotisch relativ zum Schwarzschild-Radialabstand.

Was ich gerne wissen würde, ist, ob es eine genaue Formel für r (t) gibt (entweder für die radiale Entfernung oder die gesamte gemessene Entfernung, die mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Schwarze Loch in den Beobachterrahmen gefallen ist) oder ob Sie die Formel für numerisch integrieren müssen Geschwindigkeit (geteilt durch Raumausdehnung) als Funktion des radialen Abstands.

Benutzer4552

Siehe en.wikipedia.org/wiki/… , die Gleichungen, wo es heißt „When

E = m c^{2}

$E=mc^2$ Und

h = 0

$h=0$ ..." Wenn Sie sich dem Ereignishorizont nähern, wird der Raum in radialer Richtung erweitert. Stimmt nicht. Die Schwerkraft in GR ist eine Krümmung der Raumzeit, keine Kompression oder Expansion des Raums.

Dustin Soodak

Die Größe, die mich in diesem Fall interessiert, ist die BH-Restrahmenmessung der zurückgelegten radialen Entfernung im Vergleich zu dem, was Sie angesichts der Änderung des gemessenen Umfangs erwarten würden. Die radialen Abstände gehen ins Unendliche (wenn Sie den Restrahmen verwenden), während der Umfang auf vernünftigen Werten bleibt, daher mache ich die konzeptionelle Vereinfachung, indem ich ihn als identisch mit dem Wert für den flachen Raum betrachte. Aus dieser Sicht scheint es eine radiale Raumausdehnung in der Nähe des Ereignishorizonts (oder eine Kontraktion aus der Sicht eines entfernten Beobachters) zu geben.

Benutzer4552

Die Größe, die mich in diesem Fall interessiert, ist die BH-Ruherahmenmessung des radialen Abstands. Dies ist keine sinnvolle Definition. GR hat keine globalen Bezugsrahmen, sondern nur lokale. Ihre Angaben zu radialen Abständen sind einfach falsch.

Dustin Soodak

Der "Ruherahmen", auf den ich mich beziehe, ist die Geschwindigkeit (vermutlich aufrechterhalten durch kontinuierliches Abfeuern von Raketen), bei der sich ein Objekt weder näher noch weiter vom Schwarzen Loch entfernt und sich nicht um es herumbewegt (vorausgesetzt, der BH tut dies nicht Drehimpuls haben, also kein Rahmenziehen). Kennen Sie dafür einen Fachbegriff, der besser in die übliche mathematische Formulierung von GR passt?

Antworten (1)

Geschlossener Ausdruck für die Position als Funktion der Zeit eines Objekts, das direkt aus der Unendlichkeit in ein Schwarzes Loch fällt

Siehe en.wikipedia.org/wiki/… , die Gleichungen, wo es heißt „When $E=mc^2$ Und $h=0$ ..." Wenn Sie sich dem Ereignishorizont nähern, wird der Raum in radialer Richtung erweitert. Stimmt nicht. Die Schwerkraft in GR ist eine Krümmung der Raumzeit, keine Kompression oder Expansion des Raums.
Die Größe, die mich in diesem Fall interessiert, ist die BH-Restrahmenmessung der zurückgelegten radialen Entfernung im Vergleich zu dem, was Sie angesichts der Änderung des gemessenen Umfangs erwarten würden. Die radialen Abstände gehen ins Unendliche (wenn Sie den Restrahmen verwenden), während der Umfang auf vernünftigen Werten bleibt, daher mache ich die konzeptionelle Vereinfachung, indem ich ihn als identisch mit dem Wert für den flachen Raum betrachte. Aus dieser Sicht scheint es eine radiale Raumausdehnung in der Nähe des Ereignishorizonts (oder eine Kontraktion aus der Sicht eines entfernten Beobachters) zu geben.
Die Größe, die mich in diesem Fall interessiert, ist die BH-Ruherahmenmessung des radialen Abstands. Dies ist keine sinnvolle Definition. GR hat keine globalen Bezugsrahmen, sondern nur lokale. Ihre Angaben zu radialen Abständen sind einfach falsch.
Der "Ruherahmen", auf den ich mich beziehe, ist die Geschwindigkeit (vermutlich aufrechterhalten durch kontinuierliches Abfeuern von Raketen), bei der sich ein Objekt weder näher noch weiter vom Schwarzen Loch entfernt und sich nicht um es herumbewegt (vorausgesetzt, der BH tut dies nicht Drehimpuls haben, also kein Rahmenziehen). Kennen Sie dafür einen Fachbegriff, der besser in die übliche mathematische Formulierung von GR passt?

G. Smith · Answer 1

Wenn Sie nach einer radialen zeitähnlichen Geodäte außerhalb des Horizonts eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs nach einem Teilchen auflösen, das aus der Ruhe im Unendlichen hereinfällt, erhalten Sie keine schöne Formel dafür $r(t)$ , aber Sie können einen für bekommen $t(r)$ :

\begin{matrix} (1) & T (R) - T_{0} = \frac{\sqrt{2}}{3} M [\sqrt{\frac{R_{0}}{M}} (6 + \frac{R_{0}}{M}) - \sqrt{\frac{R}{M}} (6 + \frac{R}{M})] - 4 M [{Tanh}^{- 1} \sqrt{\frac{2 M}{R_{0}}} - {Tanh}^{- 1} \sqrt{\frac{2 M}{R}}] \end{matrix}

$t(r)-t_0=\frac{\sqrt{2}}{3}M\left[\sqrt\frac{r_0}{M}\left(6+\frac{r_0}{M}\right)-\sqrt\frac{r}{M}\left(6+\frac{r}{M}\right)\right]-4M\left[\tanh^{-1}\sqrt\frac{2M}{r_0}-\tanh^{-1}\sqrt\frac{2M}{r}\right] \tag{1}$

in Einheiten mit $c=G=1$ . Die Integrationskonstanten wurden gewählt, um zu machen $r=r_0$ bei $t=t_0$ . Der umgekehrte hyperbolische Tangens macht $t\rightarrow\infty$ als $r\rightarrow 2M$ .

Nachtrag: Das OP hat klargestellt, dass er mehr daran interessiert ist $r(\tau)$ für radialen Einfall aus der Ruhe im Unendlichen, wo $r$ ist die radiale Schwarzschild-Koordinate und $\tau$ ist die Eigenzeit entlang der Geodäte (dh die von der einfallenden Sonde gemessene Zeit). Dies ergibt sich aus der einfacheren Formel

\begin{matrix} (2) & R (τ) = {[\frac{9 M (τ_{0} - τ)^{2}}{2}]}^{1 / 3} \end{matrix}

$r(\tau)=\left[\frac{9M(\tau_0-\tau)^2}{2}\right]^{1/3} \tag{2}$

Wo $\tau_0$ ist die Eigenzeit, zu der die Sonde die Singularität erreicht $r=0$ .

Dies ist das Ergebnis der Integration

\begin{matrix} (3) & \frac{D^{2} R}{D τ^{2}} + \frac{M}{R^{2}} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^2r}{d\tau^2}+\frac{M}{r^2}=0 \tag{3}$

oder

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{2} {(\frac{D R}{D τ})}^{2} - \frac{M}{R} = 0. \end{matrix}

$\frac{1}{2}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2-\frac{M}{r}=0. \tag{4}$

Bemerkenswerterweise sind (3) und (4) formal identisch mit den Newtonschen Versionen, wobei die euklidische Radialkoordinate durch die Schwarzschild-Radialkoordinate und die absolute Zeit durch die Eigenzeit ersetzt sind.

Um (3) abzuleiten, kombiniert man

\begin{matrix} (5) & \frac{D^{2} R}{D τ^{2}} + \frac{M}{R^{2}} (1 - \frac{2 M}{R}) {(\frac{D T}{D τ})}^{2} - \frac{M}{R^{2}} {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} {(\frac{D R}{D τ})}^{2} = 0, \end{matrix}

$\frac{d^2r}{d\tau^2}+\frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\frac{M}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=0, \tag{5}$

das ist die $r$ -Komponente der geodätischen Gleichung

\begin{matrix} (6) & \frac{D^{2} X^{μ}}{D τ^{2}} + Γ_{a β}^{μ} \frac{D X^{a}}{D τ} \frac{D X^{β}}{D τ} = 0 \end{matrix}

$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}=0 \tag{6}$

bei rein radialer Geodäte mit der Gleichung

\begin{matrix} (7) & 1 = (1 - \frac{2 M}{R}) {(\frac{D T}{D τ})}^{2} - {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} {(\frac{D R}{D τ})}^{2}, \end{matrix}

$1=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2, \tag{7}$

was aus dem Ausdruck für die Eigenzeit stammt, wie sie durch die Metrik gegeben ist,

\begin{matrix} (8) & D τ^{2} = (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} - {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} D R^{2} . \end{matrix}

$d\tau^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2. \tag{8}$

Eliminieren $dt/d\tau$ zwischen (5) und (7) ergibt (3).

Mit dem $G$ 's und $c$ ist restauriert, $r(\tau)$ Ist

\begin{matrix} (9) & R (τ) = {[\frac{9 G M (τ_{0} - τ)^{2}}{2}]}^{1 / 3} . \end{matrix}

$r(\tau)=\left[\frac{9GM(\tau_0-\tau)^2}{2}\right]^{1/3}. \tag{9}$

Die Herleitung von (1) ist nur etwas komplizierter. Aus (4) hat man

\begin{matrix} (10) & {(\frac{D R}{D τ})}^{2} = \frac{2 M}{R} . \end{matrix}

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\frac{2M}{r}. \tag{10}$

Einsetzen in (7) ergibt

\begin{matrix} (11) & {(\frac{D T}{D τ})}^{2} = {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 2} \end{matrix}

$\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-2} \tag{11}$

Daher

\begin{matrix} (12) & \frac{D R}{D T} = \frac{\frac{D R}{D τ}}{\frac{D T}{D τ}} = - {(\frac{2 M}{R})}^{1 / 2} (1 - \frac{2 M}{R}) . \end{matrix}

$\frac{dr}{dt}=\frac{\frac{dr}{d\tau}}{\frac{dt}{d\tau}}=-\left(\frac{2M}{r}\right)^{1/2}\left(1-\frac{2M}{r}\right). \tag{12}$

Das Integrieren gibt

\begin{matrix} (13) & T = - \int {(\frac{2 M}{R})}^{- 1 / 2} {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} D R \end{matrix}

$t=-\int\left(\frac{2M}{r}\right)^{-1/2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr \tag{13}$

oder

\begin{matrix} (14) & \frac{T}{2 M} = \int u^{- 5 / 2} (1 - u)^{- 1} D u \end{matrix}

$\frac{t}{2M}=\int u^{-5/2}(1-u)^{-1}\;du \tag{14}$

Wo $u=2M/r$ . Dieses Integral ergibt

\begin{matrix} (15) & \frac{T}{2 M} = - 2 u^{- 1 / 2} - \frac{2}{3} u^{- 3 / 2} + Protokoll (1 + u^{1 / 2}) - Protokoll (1 - u^{1 / 2}) + C \end{matrix}

$\frac{t}{2M}=-2u^{-1/2}-\frac{2}{3}u^{-3/2}+\log(1+u^{1/2})-\log(1-u^{1/2})+C \tag{15}$

oder

\begin{matrix} (16) & \frac{T}{2 M} = - 2 {(\frac{R}{2 M})}^{1 / 2} - \frac{2}{3} {(\frac{R}{2 M})}^{3 / 2} + Protokoll \frac{(\frac{R}{2 M})^{1 / 2} + 1}{(\frac{R}{2 M})^{1 / 2} - 1} + C . \end{matrix}

$\frac{t}{2M}=-2\left(\frac{r}{2M}\right)^{1/2}-\frac{2}{3}\left(\frac{r}{2M}\right)^{3/2}+\log\frac{(\frac{r}{2M})^{1/2}+1}{(\frac{r}{2M})^{1/2}-1}+C. \tag{16}$

Dies ist nur (1) in einer anderen Form, wenn man die Identität verwendet

\begin{matrix} (17) & {Tanh}^{- 1} z = \frac{1}{2} Protokoll \frac{1 + z}{1 - z} . \end{matrix}

$\tanh^{-1}z=\frac{1}{2}\log\frac{1+z}{1-z}. \tag{17}$

In dimensionslosen Koordinaten $r^\prime=r/2M$ Und $t^\prime=t/2M$ skaliert durch den Schwarzschild-Radius $2M$ , wir haben die Primzahlen fallen gelassen,

\begin{matrix} (18) & T = - 2 R^{1 / 2} - \frac{2}{3} R^{3 / 2} + Protokoll \frac{R^{1 / 2} + 1}{R^{1 / 2} - 1} + C . \end{matrix}

$t=-2r^{1/2}-\frac{2}{3}r^{3/2}+\log\frac{r^{1/2}+1}{r^{1/2}-1}+C. \tag{18}$

Leider ist dieser schöne Ausdruck für $t(r)$ kann nicht invertiert werden, um einen schönen Ausdruck für zu erhalten $r(t)$ .

Wie fügen Sie die Konstanten c und G wieder hinzu, damit Sie eine Berechnung durchführen können?
Ersetze das $M$ steht vor den Klammern mit $GM/c^3$ , weil sie eine Zeit sein müssen. Ersetze das $M$ 's in den Klammern mit $GM/c^2$ , weil sie eine Distanz sein müssen.
Ich nehme an, die Zeit in dieser Formel entspricht einer Uhr an Bord der Sonde, die in die BH fällt.
Nein das $t$ ist der $t$ in der Schwarzschild-Metrik, also die von einem Beobachter im Unendlichen gemessene Zeit. Ich dachte, das wollten Sie, weil Sie das Symbol verwendet haben $t$ . Es gibt eine einfachere Formel für $r$ in Bezug auf die richtige Zeit $\tau$ gemessen durch die einfallende Sonde, die ich später posten werde.
Das IST das, was ich wollte, obwohl ich auch nichts gegen eine Kopie der anderen Version als Referenz hätte. Übrigens, welche Formel haben Sie integriert, um Ihre Antwort zu erhalten.
Ich habe meiner Antwort einen Nachtrag mit der anderen gewünschten Formel und einer Ableitung beider Formeln hinzugefügt.
Danke für die ausführlichen Ableitungen! Ich möchte sicherstellen, dass ich die Einheiten verstehe. Nehmen wir zum Beispiel Gleichung 12 $\frac{dr}{dt}=-\left(\frac{2M}{r}\right)^{1/2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)=-\left(\frac{2 G M/c^2}{r}\right)^{1/2}\left(1-\frac{2 G M/c^2}{r}\right)=-\left(\frac{r_s}{r}\right)^{1/2}\left(1-\frac{r_s}{r}\right)$ Wo $r_s$ ist der Schwarzschild-Radius, dt ist die Zeit, die gemäß einem entfernten stationären (relativ zu BH) Beobachter vergangen ist, und r ist gleich dem gemessenen Umfang um das Schwarze Loch geteilt durch $2 \pi$ . Ist das richtig?
Ja, aber das ist eine Frage zu Koordinaten, nicht zu Einheiten. Ich sehe, du hast das wiederhergestellt $G$ Und $c$ auf der rechten Seite der Gleichung. Die linke Seite wäre $dr/cdt$ .

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Dustin Soodak

Benutzer4552

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G. Smith

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