Walds Allgemeine Relativitätstheorie, Abschnitt 6.3 Seite 144

Beginnen wir mit der Schwarzschild-Geodäte

$$\frac{1}{2}\dot{r}^2 + V(r) = \frac{1}{2}E^2,$$ mit $V(r)$das effektive Potenzial $$V(r) = \frac{L^2}{2r^3}(r-2M).$$ Betrachten Sie Lichtstrahlen, die in der Schwarzschild-Geometrie abgelenkt werden, also Photonen, die in großer Entfernung beginnen ( $r$groß, $\dot{r}<0$), breiten sich aus, bis sie eine Entfernung der engsten Annäherung an der Koordinate erreichen $r=R_0$(Wo $\dot{r}=0$) und sich wieder nach außen ausbreiten. Deshalb, $R_0$ist eine Lösung der Gleichung $$\frac{1}{2}E^2 = V(r) = \frac{L^2}{2r^3}(r-2M),$$ oder $$r^3 -b^2(r-2M) =0,$$ mit $b=L/E$. Wenn $b<b_c = 3^{3/2}M$dann hat diese Gleichung keine positiven Wurzeln, was bedeutet, dass sich das Photon weiterhin spiralförmig zum Zentrum hin bewegt. Wenn $b>b_c$, hat die Gleichung zwei positive Wurzeln und eine unphysikalische negative Wurzel. Uns interessiert nur die größte der positiven Wurzeln, da wir mit einem sehr großen Radius begonnen haben ( $r \gg R_0$) und die Photonen werden niemals eine kleinere Entfernung als erreichen $R_0$.

Die Lösung

$$R_0 = \frac{2b}{\sqrt{3}}\cos\left[\frac{1}{3}\cos^{-1}(-b_c/b)\right]$$ kann mit überprüft werden $4\cos^3x =\cos 3x + 3\cos x$. Man kann auch verifizieren, dass es die größte Wurzel ist, da $b>b_c$Und $$\cos^{-1}(-b_c/b) < \cos^{-1}(-1) = \pi\\ \cos\left[\frac{1}{3}\cos^{-1}(-b_c/b)\right] > \cos(\pi/3) = 1/2\\ R_0 > \frac{b}{\sqrt{3}} > \frac{b_c}{\sqrt{3}} = 3M,$$ Und $3M$ist die Koordinate wo $V(r)$hat ein Maximum. Die andere Wurzel (nennen wir sie $R_1$) dazwischen liegen $2M< R_1 < 3M$. Diese Wurzel gilt für Photonen, die bei sehr kleinen Radien beginnen $(2M < r < R_1)$und versuchen zu fliehen, kommen aber nicht über den Wendepunkt hinaus $R_1$, danach winden sie sich spiralförmig zum Zentrum hin.

Ich weiß nicht, warum er den Namen "größter Radius" verwendet, aber physikalisch ist es der Radius der engsten Annäherung, dh der Mindestabstand zum Mittelpunkt des Sterns am Reflexionspunkt der Umlaufbahn. Da es ein Punkt der Reflexion ist$\dot{r}=0$in Gleichung 6.3.14

$$\frac{1}{2}\dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r) = \frac{1}{2}\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2r^2} \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) = \frac{E^2}{2}$$ das gibt $V_{\text{eff}} (R_o) = E^2/R$welches ist $$\frac{L^2}{2R_o^2} \left( 1 - \frac{2M}{R_o}\right) = \frac{E^2}{2}$$ was gerecht ist $$\begin{align} &R_o^3 - b^2 (R_o - 2M) = 0 \\ &R_o^3 - b^2 (R_o - \frac{2b_c}{3\sqrt{3}}) = 0 \\ &4x^3 - 3x =- \frac{b_c}{b} \end{align}$$ Wo $x \equiv \frac{\sqrt{3}R_o}{2b}$. Jetzt will Wald seine algebraischen Muskeln spielen lassen, also erinnern Sie sich an eine Formel, die besagt $4\text{cos}^3\theta - 3\text{cos }\theta = \text{cos }3\theta$also bestimmend $\text{cos }\theta\equiv x$gibt $\theta = \frac{1}{3}\text{cos}^{-1}(-b_c/b)$oder endlich $$x = \text{cos }\left(\frac{1}{3}\text{cos}^{-1}\frac{-b_c}{b}\right)\qquad\Rightarrow\qquad R_o = \frac{2b}{\sqrt{3}} \text{cos }\left(\frac{1}{3}\text{cos}^{-1}\frac{-b_c}{b}\right)$$