Die Metrik des Schwarzschild-Schwarzen Lochs ist
DS2= ( 1 −2 MR) dT2−( 1 -2 MR)− 1DR2−R2( dθ2+Sünde2θ dϕ2) .
Daher ist die Lagrange-Funktion eines Teilchens in diesem Hintergrund (mit Eigenzeit
τ
)
L = ( 1 −2 MR)(DTDτ)2−( 1 -2 MR)− 1(DRDτ)2−R2((DθDτ)2+Sünde2θ(DϕDτ)2)
Die erste Gleichung, die Sie aus der Einschränkung L=1 erhalten können, verwenden Sie
r ( τ) = c o n s t .
,
θ ( τ) =π2
. Ich bekomme jedoch eine zusätzliche Quadratwurzel im Vergleich zu dem Ausdruck, den Sie angeben, dh
uT=T'( τ) =1 +R2ϕ„( τ)21 -2 MR−−−−−−−−−−−√.
Um alle Gleichungen zu erhalten, können Sie einfach die Euler-Lagrange-Gleichungen lösen
L
, dh
DDτ∂L∂T'−∂L∂T= 0DDτ∂L∂R'−∂L∂R= 0DDτ∂L∂θ'−∂L∂θ= 0DDτ∂L∂ϕ'−∂L∂ϕ= 0
gebe dir
−4 MR'( τ)T'( τ)R2− 2 ( 1 −2 MR)T„( τ) = 0−2 MR'( τ)2( − 2 Mio+ r)2+2 MT'( τ)2R2− 2 r (θ'( τ)2+ϕ'( τ)2) +2R„( τ)1 -2 MR= 02 r ( 2 (R'( τ)θ'( τ) + rθ„( τ) ) = 02 r ( 2 (R'( τ)ϕ'( τ) + rϕ„( τ) ) = 0
nach dem Einstecken
r ( τ) = r = c o n s t .
Und
θ = π/ 2
. Sie sehen, das können Sie konsequent einstellen
R'( τ) = 0
,
θ'( τ) = 0
,
θ„( τ) = 0
und erhalten Sie dann die zweite Gleichung, nach der Sie gesucht haben, aus der zweiten Euler-Lagrange-Gleichung (mit Hilfe der ersten Gleichung, die Sie gefunden haben).