Beweis: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} für die Schwarzschild-Raumzeit

Question

Beweis: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} für die Schwarzschild-Raumzeit

Der junge Kindaichi

Wenn $\Omega =u^{\phi}/u^t$ , das versuche ich zu beweisen

Ω = \sqrt{G M} R^{- 3 / 2}

$\Omega=\sqrt{GM}r^{-3/2}$ für die Schwarzschild-Raumzeit. Hier,

u^{ϕ}

$u^{\phi}$ Und

u^{t}

$u^t$ sind jeweils die azimutale und zeitliche kontravariante Komponente der Geschwindigkeit.

Ich begann mit dem Aufschreiben der Metrik

- C^{2} D τ^{2} = - (1 - \frac{R_{S}}{R}) C^{2} D T^{2} + {(1 - \frac{R_{S}}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} G_{Ω}

$-c^2d\tau^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2g_\Omega$ Wo

g_{Ω} = d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ^{2}

$g_\Omega=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2$ . Seit

Ω = \frac{u^{ϕ}}{u^{T}} = \frac{Sünde θ D ϕ / D τ}{C D T / D τ} = \frac{Sünde θ}{C} \frac{D ϕ}{D T}

$\Omega =\frac{u^\phi}{u^t}=\frac{\sin\theta d\phi/d\tau}{cdt/d\tau}=\frac{\sin\theta}{c}\frac{d\phi}{dt}$ Deshalb,

G_{Ω} = D θ^{2} + Ω^{2} D T^{2}

$g_\Omega=d\theta^2+\Omega^2dt^2$ Oder,

- C^{2} D τ^{2} = - (1 - \frac{R_{S}}{R}) C^{2} D T^{2} + {(1 - \frac{R_{S}}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} (D θ^{2} + Ω^{2} D T^{2})

$-c^2d\tau^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2+r^2\left(d\theta^2+\Omega^2dt^2\right)$ Ich bin mir nicht sicher, was soll ich jetzt tun? Kann jemand einen Tipp geben, wie kann ich vorgehen?

meine2cts

Der Name wird Schwarzschild geschrieben.

Michael Seifert

Die Frage macht nicht viel Sinn, da Sie sie gepostet haben. Die Koordinatenkomponenten

u^{ϕ}

$u^\phi$ Und

u^{t}

$u^t$ denn die Vierergeschwindigkeit einiger Teilchen kann (grundsätzlich) frei angegeben werden. Es gibt keinen Grund, warum sie einer Gleichheit in Bezug auf die Koordinatenposition des Partikels gehorchen sollten, es sei denn, es gibt eine Annahme über die Bewegung, die Sie hier nicht angegeben haben.

Der junge Kindaichi

@MichaelSeifert Du hast Recht, ich bin mit der Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht sehr vertraut und mein Ansatz spiegelt sie wider. Wenn ihr mir weiterhelfen könnt, wäre das sehr toll.

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Beweis: Ω=GM−−−−√r−3/2Ω=GMr−3/2\Omega =\sqrt{GM}r^{-3/2} für die Schwarzschild-Raumzeit

Die Frage macht nicht viel Sinn, da Sie sie gepostet haben. Die Koordinatenkomponenten $u^\phi$ Und $u^t$ denn die Vierergeschwindigkeit einiger Teilchen kann (grundsätzlich) frei angegeben werden. Es gibt keinen Grund, warum sie einer Gleichheit in Bezug auf die Koordinatenposition des Partikels gehorchen sollten, es sei denn, es gibt eine Annahme über die Bewegung, die Sie hier nicht angegeben haben.
@MichaelSeifert Du hast Recht, ich bin mit der Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht sehr vertraut und mein Ansatz spiegelt sie wider. Wenn ihr mir weiterhelfen könnt, wäre das sehr toll.

Ren · Answer 1

Sie sollten überlegen, wie die Masse ins Spiel kommt (dh an eine Größe denken, die von der Masse abhängt), und dann darüber nachdenken, in welcher Beziehung die Eigenschaften der Materie zu den Eigenschaften der Raumzeitgeometrie stehen.

Barriereentfernung · Answer 2

Da mehr Informationen über die Geschwindigkeit gesucht werden, würde ich jetzt damit fortfahren, die geodätischen Gleichungen aufzuschreiben: $\frac{d^2x^{\mu}} {ds^2} +\Gamma^{\mu} _{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha} {ds}\frac{dx^\beta} {ds} =0$

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Der junge Kindaichi

meine2cts

Michael Seifert

Der junge Kindaichi

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Ren

Barriereentfernung

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