Raytracing in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ich möchte herausfinden, was man am Schwarzschild-Radius eines massereichen, nicht rotierenden Schwarzen Lochs sehen würde, wenn das Schwarze Loch von einem hellen Ring umgeben wäre.

Dafür würde ich den Beobachter auf eine bestimmte Stelle setzen R 0 , θ 0 , ϕ 0 = ( R S , θ , 0 ) und in eine bestimmte Richtung schauen a , β (Blick nach außen) und fragen Sie, woher ein Lichtstrahl kommt, der mit diesen Parametern endet (Umkehrzeit). Genauer gesagt, bei welchem ​​Radius im Ring es entsteht (wenn es den Ring kreuzt).

Dies sollte mit der Metrik irgendwie lösbar sein, entweder analytisch oder numerisch, indem angenommen wird, dass der Gradient des Potentials in einem kleinen Bereich klein ist, und ein kleiner Schritt im Lichtstrahl berechnet wird.

Meine Frage ist: Wie bekomme ich eine Formel für den Lichtstrahl mit ( R , θ , ϕ ) als Funktion der Zeit, die ankommt ( R 0 , θ 0 , ϕ 0 ) aus Winkel a , β zum Zeitpunkt T = 0 ?

Ich habe diese GR-Vorlesung http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro421/lectures/lecture490_ch9.pdf gefunden, aber sie gibt keinen Lichtstrahlenpfad an. Ich habe auch die Gyoto-Software gefunden, aber sie kann nur die Strahlung für einen Beobachter weit vom Schwarzen Loch berechnen.

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Also habe ich die Herleitung in https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics befolgt und verstehe, wie man die Gleichung herleitet

( D u D φ ) 2 = 1 B 2 − ( 1 − u R S ) ( 1 A 2 + u 2 )

Die rechte Seite davon kann als Polynom 3. Grades geschrieben werden, dessen Wurzeln ich bestimmen kann.

Einiges scheint mir noch unklar:

  • Wie sie plötzlich auf die „Sinus-Amplitudinus-Funktion“ als Lösung springen u ( φ ) für die fundamentale Orbitalgleichung?
  • Wenn u 1 , u 2 sind die konjugierten Wurzeln (komplexe Zahlen) und u 3 die reelle Wurzel ist, dann die Gleichung
    u = u 1 + ( u 2 − u 1 ) S N 2 ( 1 2 φ R S ( u 3 − u 1 ) + δ )
    wird ein komplexes Argument haben u 3 − u 1 , die mit der sn-Funktion nicht kompatibel ist?
  • Wie gehe ich aus u ( φ ) Zu u ( τ ) oder u ( T ) ? Ich denke, es sollte mehrere Lösungen für ein einzelnes Phi geben, zB bei der Verarbeitung von Umlaufbahnen.
  • Wie wähle ich A Und B ? Ich finde A ist wie ein Drehimpuls und hängt mit dem Startpotential zusammen. B bezieht sich auf den engsten Radius?
Tipp an @WetSavannaAnimalakaRodVance und andere Redakteure: Nur res hinzufügen. empfehlen Tag, wenn das die einzige Frage von OP ist. (Es ist implizit impliziert, dass jedes OP nach res. recom fragt.) Pure res. empfehlen Fragen sind eingeschränkt.

Antworten (1)

Der Lichtstrahl in der Allgemeinen Relativitätstheorie bewegt sich entlang der Null-Geodäte, die durch die einfache Gleichung bestimmt wird

G μ v ( X ) D X μ D τ D X v D τ = 0 ,

Wo G μ v In Ihrem Fall ist dies die Schwarzschild-Metrik. Unter Verwendung dieser Gleichung und der Anfangsbedingung (Winkel a ) sollten Sie in der Lage sein, Ihren Lichtstrahl zeitlich zurückzuverfolgen und seine ursprüngliche Position jederzeit wiederherzustellen T .

Es gibt eine kleine Feinheit: der Evolutionsparameter ( τ ) ist willkürlich, was bedeutet, dass die obige Gleichung mehrere Lösungen hat. Dies ist auf die Reparametrisierungsinvarianz zurückzuführen, die die Eichsymmetrie des relativistischen Teilchens ist. Um eindeutige Antworten zu erhalten, können Sie die verwenden τ = T = X 0 messen (indem Sie einfach sagen, dass Ihre τ ist die physikalische Zeit eines Beobachters im Unendlichen).

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Okay, ich werde deine Fragen beantworten.

  1. Der S N Funktion ist die Lösung der obigen Differentialgleichung

  2. Warum? S N ist meines Wissens auf der komplexen Ebene definiert.

  3. Du nicht. Diese Gleichung sagt Ihnen, wie u = 1 / R kommt drauf an ϕ .

  4. A Und B sind die Parameter, die Sie mit Ihren Anfangsbedingungen festlegen sollten.

Aber ich verstehe nicht, warum Sie diese Gleichungen brauchen. Die Form einer Umlaufbahn eines Planeten? Ich dachte, Sie müssten den Lichtstrahl in der Zeit zurückverfolgen? Warum haben Sie nicht getan, was ich in dieser Antwort vorgeschlagen habe?

Hallo @Hindsight, könnten Sie sich bitte die aktualisierte Frage ansehen und Ihre Antwort erweitern?
Die Gleichung, die Sie geschrieben haben, ist nicht die geodätische Gleichung, sondern nur eine Aussage, dass die Kurve, der das Partikel folgt, null ist. Sie müssen noch die geodätische Gleichung lösen, um den Pfad des Partikels zu bestimmen.
Die geodätische Gleichung von @asperanz ist hier nicht anwendbar, da sie eine Eigenzeitparametrisierung verwendet, die in masselose Grenzen zerfällt.
Das ist nicht richtig. Die geodätische Gleichung gilt weiterhin für Null-Geodäten, Sie verwenden jedoch nicht die richtige Zeit, um die Geodäten zu parametrisieren. Im Allgemeinen gibt es eine spezielle Klasse von Parametern für Null-Geodäten, die als affine Parameter bezeichnet werden, für die die geodätische Gleichung gilt k μ ∇ μ k a = 0 hält. Für einen beliebigen Parameter lautet die modifizierte Gleichung k μ ∇ μ k a = κ k a .
@asperanz genau (es ist nur so, dass ich den Begriff "geodätische Gleichung" bisher nicht auf masselose Geodäten angewendet habe). Aber es sieht so aus, als würde j13r die Eigenzeitparametrisierung verwenden, also ist sein Versuch zum Scheitern verurteilt.
Hallo @Hindsight, danke für deine Ergänzungen. Ich verstehe nicht, wie Sie vorschlagen, dass ich die geodätische Gleichung verwenden kann, um den Strahl in der Zeit zurückzuverfolgen. Wenn ich kleine Schritte verwende Δ τ , dann habe ich eine Summe von 4 Unbekannten (x, y, z, t), oder, unter Berufung auf Symmetrie, drei (r, φ, t), aber nur eine Gleichung. Ich denke, der Weg, den ich gegangen bin, besteht darin, explizite Lösungen für EGR zu finden
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