Wann erreicht Licht einen Schalenbeobachter in der Schwarzschild-Metrik?

Question

Wann erreicht Licht einen Schalenbeobachter in der Schwarzschild-Metrik?

trijuippi

Ich versuche, die Lichtbahn in der Schwarzschild-Metrik (wie sie von einem weit entfernten Beobachter gesehen wird) mit fest zu simulieren $\theta = \pi/2$ . Nach meiner Quelle (Kapitel 18, Abschnitt 18.5) wird die Flugbahn dann bestimmt durch:

\frac{D R}{D T} = \dot{R}

$\frac{dr}{dt} = \dot{r}$

\frac{D ϕ}{D T} = \dot{ϕ}

$\frac{d\phi}{dt} = \dot{\phi}$

\frac{D \dot{R}}{D T} = \frac{- 4 M^{2} + 2 M R + (R - 5 M) R^{3} {\dot{ϕ}}^{2}}{R^{3}}

$\frac{d\dot{r}}{dt} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3\dot{\phi}^2}{r^3}$

\frac{D \dot{ϕ}}{D T} = \frac{2 (- 3 M + R) \dot{R} \dot{ϕ}}{(2 M - R) R}

$\frac{d\dot{\phi}}{dt} = \frac{2(-3M+r)\dot{r}\dot{\phi}}{(2M-r)r}$

Ich habe eine Situation, in der ein Muschelbeobachter sitzt $(r_T, \phi_T)$ und das weiß ich $r(0) = r_0$ , $\phi(0) = \phi_0$ , $r(T) = r_T$ , $\phi(T) = \phi_T$ Wo $r_0$ , $r_T$ , $\phi_0$ Und $\phi_T$ sind bekannt, aber $T$ ist unbekannt. Es scheint mir, dass ich eine zusätzliche Einschränkung brauche, um herauszufinden $T$ da ich 4 Gleichungen habe (die obigen), aber 5 Unbekannte ( $r(t), \dot{r}(t), \phi(t), \dot{\phi}(t), T$ ).

Brauche ich eine zusätzliche Einschränkung, um das herauszufinden? $T$ und was wäre diese Einschränkung?

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Wann erreicht Licht einen Schalenbeobachter in der Schwarzschild-Metrik?

John Rennie · Answer 1

Die Art und Weise, wie die Gleichungen dargestellt werden, erscheint unnötig unklar, da es nur zwei Gleichungen gibt, auf die es ankommt:

\frac{D^{2} R}{D T^{2}} = \frac{- 4 M^{2} + 2 M R + (R - 5 M) R^{3}}{R^{3}} {\dot{ϕ}}^{2}

$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{-4M^2+2Mr+(r-5M)r^3}{r^3}\,\dot{\phi}^2$

\frac{D^{2} ϕ}{D T^{2}} = \frac{2 (- 3 M + R)}{(2 M - R) R} \dot{R} \dot{ϕ}

$\frac{d^2\phi}{dt^2} = \frac{2(-3M+r)}{(2M-r)r} \, \dot{r}\dot{\phi}$

Diese stammen aus der geodätischen Gleichung, die durch die Koordinatenzeit ausgedrückt wird .

Also fängst du bei einem bequemen an $(r, \phi)$ mit anfänglicher Koordinatengeschwindigkeit $(\dot{r}, \dot{\phi})$ und rechtzeitig integrieren, um zu berechnen $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ Und $\dot{\phi}$ als Funktion der Koordinatenzeit $t$ .

Sie können beliebige Anfangswerte auswählen $r$ , $\phi$ , $\dot{r}$ Und $\dot{\phi}$ Sie wollen, aber offensichtlich $\dot{r}$ Und $\dot{\phi}$ sind verwandt, weil Sie einen Lichtstrahl beschreiben. Die Beziehung kommt von der Schwarzschild-Metrik. Für einen Lichtstrahl $ds = 0$ , und wir können nehmen $\theta = \pi/2$ Und $d\theta = 0$ , also erhalten wir:

0 = - (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} + \frac{D R^{2}}{(1 - \frac{2 M}{R})} + R^{2} D ϕ^{2}

$0 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2d\phi^2$

oder:

(1 - \frac{2 M}{R}) = \frac{{\dot{R}}^{2}}{(1 - \frac{2 M}{R})} + R^{2} {\dot{ϕ}}^{2}

$\left(1-\frac{2M}{r}\right) = \frac{\dot{r}^2}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)} + r^2\dot{\phi}^2$

Wann erreicht Licht einen Schalenbeobachter in der Schwarzschild-Metrik?

trijuippi

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John Rennie

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