Null-Geodäten in einheitlicher Gravitationsfeldmetrik

Die Metrik liest, Wiederherstellung$c$,

$$\mathrm{ds}^2 = -(1+gz/c^2)^2 c^2\mathrm{dt}^2 + \mathrm{dz}^2 + \mathrm{dx}^2\:.$$ Die Metrik kann zur Bestimmung der Geodäten über den zugehörigen quadratischen Lagrange verwendet werden $$L = -(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2\tag{0}$$ wobei der Punkt die Ableitung nach dem affinen Parameter bezeichnet $s$.

NB Der üblichere Lagrange

$$L = \sqrt{|-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}^2 + \dot{z}^2 +\dot{x}^2|}$$ ist hier nicht geeignet, da es die lichtartigen Geodäten nicht bestimmt, während (0) alle Arten von Geodäten bestimmt, die bereits in Funktion eines affinen Parameters geschrieben wurden.

Der Fall eines vertikalen Photons (und eines vertikalen massiven Objekts)

Ich betrachte zunächst den Fall eines Photons, dessen Geschichte im Flugzeug beschrieben wird$t,z$. Mit anderen Worten, es handelt sich um vertikale Photonen, wobei die vertikale Richtung die des Gravitationsfeldes ist,$z$.

Euler-Lagrange-Gleichungen von Lagrange (0) erzeugen,

$$-\frac{d}{ds} (1+gz/c^2)^2 \frac{dt}{ds}=0\tag{1}$$ Und $$\frac{d}{ds} \frac{dz}{ds}=-(1+gz/c^2)g\left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.\tag{2}$$ Ersteres impliziert $$(1+gz/c^2)^2\frac{dt}{ds}=T\:,\tag{2'}$$ also, vorausgesetzt $T > 0$wie es für zukunftsgerichtete kausale Geodäten sein muss, $$\frac{d}{ds}= \frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt}\:.$$ Wenn wir es in (2) verwenden, haben wir $$\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\frac{d}{dt} \frac{T}{(1+gz/c^2)^2 }\frac{d}{dt} z = -(1+gz/c^2) g\left(\frac{T}{(1+gz/c^2)^2}\right)^2$$ was vereinfacht zu $$\frac{d^2z}{dt^2} = 2 \frac{g}{c^2(1+gz/c^2)}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2- (1+gz/c^2) g\:.$$ Sie sehen das im nicht-relativistischen Regime, dh $|gz|<< c^2$Und $\left(\frac{dz}{dt}\right)^2<< c^2$, die Gleichung für $z=z(t)$kann mit der Newtonschen Gleichung angenähert werden $$\frac{d^2z}{dt^2} =-g$$ wie erwartet für massive Objekte, die sich entlang zeitähnlicher Geodäten entwickeln.

Lichtähnliche Geodäten können auf kürzerem Weg explizit bestimmt werden.

Zunächst stellen wir fest, dass die Lagrange-Funktion (0) nicht von abhängt$s$ausdrücklich. Daher besagt der Satz von Jacobi, dass die Hamilton-Funktion entlang der Lösung von Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten bleibt. Aufgrund des Fehlens eines potenziellen Terms im Lagrange-Operator stimmt die Hamilton-Funktion mit dem Lagrange-Operator selbst überein. Mit anderen Worten

$$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 +\dot{x}(s)^2= constant\tag{3}$$ entlang Geodäten. Für lichtähnliche Geodäten in der Ebene $t,z$wir haben insbesondere $$-(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 + \dot{z}(s)^2 = 0$$ Weil $L$ist nichts anderes als die quadrierte Lorentz-Norm des Tangentenvektors, so dass $$(1+gz/c^2)^2 c^2\dot{t}(s)^2 = \dot{z}(s)^2\:.$$ Da, wie oben erwähnt, kausale Geodäten parametrisiert werden können durch $t$(obwohl es kein affiner Parameter ist), ergibt die gefundene Gleichheit $$\frac{dz}{dt} = \pm c(1+gz/c^2)$$ und somit $$\frac{dz}{1+gz/c^2} = \pm cdt \tag{4}$$ Beachten Sie, dass (3) auch für zeitähnliche Geodäten gilt, aber die daraus folgende Differentialgleichung erster Ordnung nicht so einfach zu lösen ist wie für lichtähnliche Geodäten. Stattdessen kann die Gleichung für lichtähnliche Geodäten (4) sofort produzierend integriert werden $$z(t) = \left(z(0) + \frac{c^2}{g}\right) e^{\pm \frac{g}{c}t}- \frac{c^2}{g}\:.$$ Dies ist die allgemeine Formel, die lichtähnliche Geodäten in der Ebene beschreibt $t,z$unseres beschleunigten Koordinatensystems. Es ist erwähnenswert, dass es zwei Arten von Geodäten gibt, die bei emittiert werden $z(0)$für $t=0$, die mit dem Zeichen $-$im Exponenten propagieren (z $t>0$) in Richtung Killing Horizon, gelegen bei $z_0 = -\frac{c^2}{g}$(Wo $g_{tt}=0$) und diejenigen, die sich fortpflanzen (z $t>0$) in Richtung $z= +\infty$. Die Geodäten der ersten Klasse erreichen den Horizont und verbringen unendlich viel Tötungszeit $t$. Die andere Art von Kurven entweicht exponentiell schnell ins Unendliche.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass für massive Körper, die sich entlang zeitähnlicher Geodäten entwickeln, die Wirkung des Gravitationsfeldes ähnlich der klassischen im nichtrelativistischen Regime ist. Diese Partikel werden durch das Gravitationsfeld wieder nach unten auf die Oberfläche „gezogen“.$z(0)$wo sie ausgestrahlt wurden.

Ganz anders sieht es bei lichtähnlichen Geodäten aus, die Lichtteilchen beschreiben. Diese Partikel werden nicht durch das Gravitationsfeld wieder nach unten auf die Oberfläche "gezogen".$z(0)$wo sie ausgestrahlt wurden. Diese Analyse gilt jedoch für Lichtteilchen, die entlang der Richtung des Gravitationsfeldes, dh der vertikalen Richtung, emittiert werden$z$.

Der Fall eines nicht vertikalen Photons

Prüfen wir abschließend, ob bei Bewegungen mit nicht-vertikaler Anfangsrichtung ein Schleppeffekt für Lichtteilchen existiert . Da das Problem rotationssymmetrisch ist$z$wir können den Fall von betrachten$y=0$ständig, aber nicht konstant$x$. Der Einfachheit halber gehe ich fortan davon aus$c=1$.

Die Gleichung für die Koordinate$x$aus der Lagrange-Funktion (0) ist trivial,$\frac{d^2x}{ds^2}=0$, so dass

$$x= Xs\tag{5}$$
für einige konstant $X>0$. Es gibt eine weitere additive Konstante, die ich immer annehmen kann $0$durch die Neudefinition des Ursprungs der $x$Achse, weil das Problem unter Übersetzungen invariant ist $xy$Ebene. Nun ergibt (3) für lichtartige Geodäten unter Berücksichtigung von (5) $$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 + X^2 = (1+ gz)^2 \left(\frac{dt}{ds}\right)^2\:.$$ Schließlich gibt (2') nach $$\left(\frac{dz}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:,$$ Das ist $$\frac{1}{g^2}\left(\frac{d(1+gz)}{ds}\right)^2 = \frac{T^2}{(1+ gz)^2}-X^2\:.$$ Definieren $\zeta := (1+ gz)^2$, kann diese Gleichung umgeschrieben werden als $$\left(\frac{d\zeta}{ds}\right)^2 = 4g^2( T^2 - X^2\zeta)$$ und seine Lösung lautet $$\sqrt{T^2 - X^2\zeta(s)} = gX^2s +C$$ für eine beliebige Konstante $C$. Mit anderen Worten, neu definieren $C$ $$\zeta(s) = \frac{T^2}{X^2} - g^2X^2(s+C)^2\:.\tag{6}$$ Unter Verwendung der Definition von $\zeta$bekommen wir endlich $$z(s) = -\frac{1}{g}\pm \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\:.$$ Eigentlich, da die Koordinaten, für die wir arbeiten, definiert sind $z> -1/g$nur die Lösung
$$z(s) = -\frac{1}{g}+ \sqrt{\frac{T^2}{g^2X^2} - X^2(s+C)^2}\tag{7}$$ ist erlaubt.

Es ist möglich, diese Kurve mit der Tötungszeit zu parametrieren$t$Integration von (2') da$(1+gz)^2 = \zeta$ist nun durch (6) explizit gegeben. Dies ist jedoch nicht erforderlich, da uns nur die Form der Trajektorie interessiert.

Die Kurve (7) ist eine Ellipse in der Ebene$z,s$zentriert darin$z= -1/g$,$s=-C$und mit Achsen parallel zu den kartesischen Achsen. Davon können wir immer ausgehen$C=0$da der Ursprung des affinen Parameters willkürlich ist.

Die physikalische Interpretation ist jetzt einfach. Wenn wir unser Photon von der Oberfläche an emittieren$z=z_0> -1/g$entlang der Richtung$z>0$aber auch mit einer horizontalen Komponente seiner affinen Geschwindigkeit$\dot{x}=X>0$zu einer anfänglichen affinen Zeit$-s_0<0$, nach endlicher affiner Zeit, genauer gesagt bei$s= s_0$, das Photon kommt zurück bei$z_0$.

Ihre Intuition war richtig: Das Photon wird tatsächlich durch das Gravitationsfeld wieder nach unten auf die Emissionsfläche bei gezogen$z=z_0$.