Schwarzschild-Metrik in isotropen Koordinaten

Question

Schwarzschild-Metrik in isotropen Koordinaten

PhilosophischePhysik

Da man zu isotropen Koordinaten springen möchte, um die Schwarzschild-Metrik in Bezug auf sie zu schreiben, führt man diese Koordinatentransformation durch:

R = R^{'} {(1 + \frac{M}{2 R^{'}})}^{2}

$r=r'\left(1+\frac{M}{2r'}\right)^2$

Wir beginnen also mit der sehr bekannten Form:

D S^{2} = - (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} + {(1 - \frac{2 M}{R})}^{- 1} D R^{2} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})

$ds^2 = -\left(1-\frac{2m}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2m}{r}\right)^{-1}dr^2 +r^2(d\theta^2 +\sin^2\theta d\phi^2)$

Und ankommen

D S^{2} = - {(\frac{1 - M / 2 R^{'}}{1 + M / 2 R^{'}})}^{2} D T^{2} + (1 + M / 2 R^{'})^{4} [D R^{' 2} + R^{' 2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})]

$ds^2 = -\left(\frac{1-M/2r'}{1+M/2r'}\right)^2dt^2 +(1+M/2r')^4[dr'^2 +r'^2( d\theta^2 +\sin^2\theta d\phi^2)]$

Meine Frage ist: Woher kommt diese Koordinatentransformation?

Kyle Kanos

Was passiert, wenn

r = 2 m

$r=2m$ oder

r = 0

$r=0$ ?

PhilosophischePhysik

Singularität. @KyleKanos

ACuriousMind

Was meinst du mit deiner Frage? Koordinatentransformationen "kommen" nicht irgendwoher - sie sind einfach (angemessen schöne) Funktionen von Koordinaten.

Kyle Kanos

@PhilosophicalPhysics: Passiert das mit der Transformation?

PhilosophischePhysik

Nein tut es nicht. @ACuriousMind als ich diese Transformation zum ersten Mal sah, kam sie her

r^{'} = 1 / 2 (r - m + \sqrt{r^{2} - 2 m})

$r' = 1/2(r-m+\sqrt{r^2-2m})$ Aber ich habe versucht, es auf alle Arten zu manipulieren, und ich konnte immer noch nicht die Transformation erreichen, die ich in der obigen Frage geschrieben habe. Ich bezweifle, dass die Transformation, die ich gerade geschrieben habe, falsch ist, deshalb habe ich sie in der obigen Frage nicht erwähnt.

Kyle Kanos

Nein tut es nicht. Das ist also Ihre Antwort: Die Transformation kommt aus dem Wunsch, keine Singularität zu haben

r^{'} = 2 m

$r'=2m$ (es gäbe noch einen bei

r^{'} = 0

$r'=0$ obwohl).

Autolatrie

Es gibt eine sehr gute Erklärung, woher die Koordinatentransformation kommt in Wang, Gui & Ma; ac.els-cdn.com/S0370269307006454/…

Antworten (1)

Schwarzschild-Metrik in isotropen Koordinaten

Was meinst du mit deiner Frage? Koordinatentransformationen "kommen" nicht irgendwoher - sie sind einfach (angemessen schöne) Funktionen von Koordinaten.
Nein tut es nicht. @ACuriousMind als ich diese Transformation zum ersten Mal sah, kam sie her $r' = 1/2(r-m+\sqrt{r^2-2m})$ Aber ich habe versucht, es auf alle Arten zu manipulieren, und ich konnte immer noch nicht die Transformation erreichen, die ich in der obigen Frage geschrieben habe. Ich bezweifle, dass die Transformation, die ich gerade geschrieben habe, falsch ist, deshalb habe ich sie in der obigen Frage nicht erwähnt.
Nein tut es nicht. Das ist also Ihre Antwort: Die Transformation kommt aus dem Wunsch, keine Singularität zu haben $r'=2m$ (es gäbe noch einen bei $r'=0$ obwohl).
Es gibt eine sehr gute Erklärung, woher die Koordinatentransformation kommt in Wang, Gui & Ma; ac.els-cdn.com/S0370269307006454/…

John Rennie · Answer 1

Das Ziel der isotropen Koordinaten ist es, die Metrik in der Form zu schreiben, wo die raumartigen Schnitte möglichst euklidisch sind. Das heißt, wir versuchen, die Metrik in der Form zu schreiben:

D S^{2} = - A^{2} (R) D T^{2} + B^{2} (R) D Σ^{2}

$ds^2 = -A^2(r)dt^2 + B^2(r)d\Sigma^2$

Wo $d\Sigma^2$ ist die euklidische Metrik:

D Σ^{2} = D R^{2} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})

$d\Sigma^2 = dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$

Verwenden wir also die Substitution $r\rightarrow r'$ und schreiben Sie unsere Metrik auf:

D S^{2} = - (1 - \frac{2 M}{R^{'}}) D T^{2} + B^{2} (R^{'}) (D R^{' 2} + R^{' 2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}))

$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r'}\right)dt^2 + B^2(r')\left(dr'^2 + r'^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)\right)$

Wenn wir dies mit der Schwarzschild-Metrik vergleichen:

D S^{2} = - (1 - \frac{2 M}{R}) D T^{2} + \frac{D R^{2}}{1 - 2 M / R} + R^{2} (D θ^{2} + {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2})

$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1 - 2M/r} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$

Damit die Winkelteile gleich sind, müssen wir dann haben:

B^{2} (R^{'}) R^{' 2} = R^{2}

$B^2(r')r'^2 = r^2$

Und damit die radialen Teile gleich sind, müssen wir haben:

B^{2} (R^{'}) D R^{' 2} = \frac{D R^{2}}{1 - 2 M / R}

$B^2(r')dr'^2 = \frac{dr^2}{1 - 2M/r}$

Teilen Sie die zweite Gleichung durch die erste, um sie zu eliminieren $B$ und wir enden mit:

\frac{D R^{' 2}}{R^{' 2}} = \frac{D R^{2}}{R^{2} - 2 M R}

$\frac{dr'^2}{r'^2} = \frac{dr^2}{r^2 - 2Mr}$

Und dann ziehen Sie einfach die Quadratwurzel und integrieren und wir erhalten die von Ihnen beschriebene Substitution:

R = R^{'} {(1 + \frac{M}{2 R^{'}})}^{2}

$r = r'\left(1 + \frac{M}{2r'}\right)^2$

die dritte Zeile in der Herleitung ist nicht korrekt, sie sollte r(r') lauten, nur dann erhält man das korrekte Ergebnis auch für den dt^2-Term in isotropen Koordinaten

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