Komar-Masse für rotierendes Schwarzes Loch

Question

Komar-Masse für rotierendes Schwarzes Loch

Grundstudium

Ich versuche, die Komar-Erhaltungsgrößen für Schwarze Löcher mit Killing-Vektoren zu berechnen.

Ich folgte dem Standardverfahren und berechnete die Komar-Masse für das schwarze Reissner-Nordstrom-Loch (siehe beigefügte Datei).

Aber es gelang nicht, dasselbe für das Schwarze Kerr-Newman-Loch zu berechnen. Obwohl in diesem Papier die Berechnung durch die duale Formmethode durchgeführt wird. Bitte machen Sie Ihren Vorschlag.

F (R) = 1 - \frac{2 M}{R} + \frac{Q^{2}}{R^{2}}

$f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$ Komar Messe

M_{K}

$M_K$ wird gegeben von:

M_{K} = \frac{1}{8 π} \oint \nabla_{μ} k_{v} D S^{μ v}

$M_K=\frac{1}{8\pi}\oint\nabla_{\mu} k_{\nu} ds^{\mu\nu}$

k^{μ} = [1, 0, 0, 0]

$k^{\mu}=[1, 0, 0, 0]$

k_{v} = [F (R), 0, 0, 0]

$k_{\nu}=[f(r), 0, 0, 0]$ Denn im Großen und Ganzen

r

$r$ ,

T

$T$ ist Minkowski flach,

\nabla_{μ} k_{v} \to \partial_{μ} k_{v}

$\nabla_\mu k_{\nu}\rightarrow\partial_\mu k_\nu$

\begin{aligned} \partial_{μ} k_{v} & = \partial_{R} F (R) \\ = (\frac{\partial M}{R^{2}} - \frac{2 Q^{2}}{R^{3}}) \end{aligned}

$\begin{align} \\\partial_\mu k_\nu&=\partial_rf(r) \\&=\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg) \end{align}$

\begin{aligned} M_{K} & = \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial M}{R^{2}} - \frac{2 Q^{2}}{R^{3}}) \sqrt{G_{θ θ} G_{ϕ ϕ}} D θ D ϕ \\ = \frac{1}{8 π} \int (\frac{\partial M}{R^{2}} - \frac{2 Q^{2}}{R^{3}}) R^{2} Sünde θ D θ D ϕ \\ = \frac{1}{8 π} \int_{0}^{π} (\partial M - \frac{2 Q^{2}}{R}) 2 π Sünde θ D θ \\ = M - \frac{Q^{2}}{R} \end{aligned}

$\begin{align} \\M_K&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)\sqrt{g_{\theta\theta}g_{\phi\phi}}\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int\bigg(\frac{\partial M}{r^2}-\frac{2Q^2}{r^3}\bigg)r^2\sin\theta\ d\theta\ d\phi \\&=\frac{1}{8\pi}\int^\pi_0\bigg(\partial M-\frac{2Q^2}{r}\bigg)2\pi\sin\theta\ d\theta \\&=M-\frac{Q^2}{r} \end{align}$

TimRias

Können Sie erklären, wo Sie bei Kerr-Newman hängen bleiben? Haben Sie den einfachen Kerr-Fall ausprobiert?

Antworten (1)

Komar-Masse für rotierendes Schwarzes Loch

Können Sie erklären, wo Sie bei Kerr-Newman hängen bleiben? Haben Sie den einfachen Kerr-Fall ausprobiert?

Jaroslaw Schustrow · Answer 1

Ich möchte meine Antwort in 3 Teile aufteilen. Auch wenn ich die explizite Berechnung von Komars Masse für den interessierenden Fall (aufgrund seiner beträchtlichen Länge) nicht präsentieren werde, werde ich (was ich hoffe) nützliche Hinweise und Hinweise geben.

Teil I: Eine weitere Definition von Komars konservierten Mengen

Der von Ihnen vorgelegte Artikel definiert die konservierten Größen von Komar in Bezug auf Differentialformen, die ich in den Teilen II und III dieser Antwort erörtern werde.

Die gleichen Dinge können auch mittels Indexnotation geschrieben werden. Diese Definition kann in Abschnitt 6.4 von Sean Carrolls Buch „ Spacetime and Geometry “ gefunden werden. Das Gute an diesem Abschnitt ist, dass man diesen Ansatz auch explizit für das Schwarzschild-Schwarze Loch verwenden kann.

Die Anwendung dieses Ansatzes auf das Kerr-Newman-Schwarze Loch scheint genau den gleichen Schritten zu folgen. Ich muss zugeben, dass ich aufgrund der Länge der Berechnung nicht genug Zeit hatte, um selbst zur endgültigen Antwort zu gelangen. Die Berechnungen selbst sind jedoch nicht so schwierig. Nur viele Derivate.

\begin{matrix} (1) & E_{R} = \frac{1}{4 π G} \int_{\partial S} D^{2} X \sqrt{γ^{(2)}} \cdot N_{μ} σ_{v} \nabla^{μ} K^{v}, \end{matrix}

$E_{R} = \frac{1}{4\pi G} \int_{ \partial S} d^2 x \sqrt{\gamma^{(2)}}\cdot n_{\mu} \sigma_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu} \tag{1} \,,$ Wo:

$S$ ist eine dreidimensionale konstante Zeitscheibe;
$n_{\mu}$ ist ein dazu orthogonaler Einheitsvektor;
$\partial S$ ist Grenze von $S$ ;
$\sigma_{\mu}$ ist ein Einheitsvektor, der zu dieser Grenze orthogonal ist (in unserem Fall ist es ein raumartiger Vektor, der in radialer Richtung blickt);
$\gamma^{(2)}$ wird metrisch auf induziert $\partial S .$

Teil II: Äquivalenz zweier Definitionen

Beachten Sie, dass verschiedene Quellen Komars Erhaltungsgrößen mit unterschiedlichen numerischen Koeffizienten vor dem Integral definieren. Ich werde über die Äquivalenz von Definitionen bis zu diesem Koeffizienten sprechen. Es gibt auch geringfügige Unterschiede in der Notation für verschiedene Formeln. Dennoch wollte ich sie so belassen, wie sie in den Quellen dargestellt wurden.

Der oben erwähnte Artikel gibt die folgende Definition der konservierten Komar-Mengen an:

\begin{matrix} (2) & K_{ξ_{(T)}^{μ}} = - \frac{1}{8 π} \int_{\partial S} * D σ, \end{matrix}

$K_{\xi^{\mu}_{(t)}} = -\frac{1}{8 \pi} \int_{\partial S} * \mathrm{d}\sigma \tag{2} \,,$ Wo:

$\sigma = \xi_{ (t) \mu} \mathrm{d}x^{\mu}$ ist eine zeitraubende Form;
$\xi_{ (t)}^{ \mu}$ Tötungsvektor entsprechende Verschiebungen in Zeitrichtung.

Bevor ich in die Details der Berechnung der Masse von Komar mit Hilfe dieser Formel eintauche, würde ich dringend empfehlen , die Äquivalenz von (1) und (2) zu beweisen. Hier sind einige nützliche Tipps.

Zuerst möchten Sie vielleicht den Anhang E von Sean Carrolls Buch „ Spacetime and Geometry “ durchgehen . Der dort abgeleitete Satz von Stock erlaubt es, die Äquivalenz von (1) und dem folgenden Ausdruck zu zeigen:

\begin{matrix} (3) & Q_{S} = - \int_{S} * J \end{matrix}

$Q_{S} = -\int_{S} * J \tag{3} \,$ Wo

J

$J$ ist ein divergentloser Strom, der Killing-Vektoren entspricht

J_{R}^{μ} = K_{v} R^{μ v} = \nabla_{v} \nabla^{μ} K^{v}

$J^{\mu}_R = K_{\nu} R^{\mu \nu} = \nabla_{\nu} \nabla^{\mu} K^{\nu}$ zweite Gleichheit kommt von Killing-Gleichung, und

R^{μ ν}

$R^{\mu \nu}$ Ricci-Tensor ist.

Nun sind (3) und (2) äquivalent (bis auf eine Konstante), solange der folgende Ausdruck gilt (verwenden Sie den Satz von Stock, um ihn zu erhalten):

\frac{1}{2} D (* D σ) = * J .

$\frac{1}{2} \mathrm{d}(*\mathrm{d}\sigma) = *J \,.$

Der einfachste Weg (zumindest für mich), zu zeigen, dass dies tatsächlich der Fall ist, war, beide Seiten explizit in Koordinatennotation zu schreiben und sie sorgfältig zu vergleichen. Unterwegs finden Sie möglicherweise diese Website , Seite 21 dieses Handbuchs und "Exterior Derivat" , Wikipedia.

Teil III: Hinweise zur Vorgehensweise aus dem Artikel

Wenn Sie es einmal geschafft haben, Berechnungen aus Teil II durchzugehen, wird es viel einfacher sein, dem Ansatz aus dem Artikel zu folgen . Es stimmt, dass sie nur eine explizite Berechnung von darstellen $J_{\text{eff}} .$ Wenn Sie jedoch Zugriff auf den Artikel JM Cohen, F. De Felice, J. Math. Phys. 25, 992 (1984), sieht man, dass genau der gleiche Ansatz verwendet wird.

Da ich nicht weiß, welche Schritte ausgearbeitet werden müssen, lasse ich freien Lauf. Wenn noch etwas fehlt, könnte ich diesen Beitrag später bearbeiten.

Eine aus meiner Sicht unerklärliche Sache war der Basiswechsel von 1-Formen aus $\mathrm{d}t, \, \mathrm{d}r, \, \mathrm{d}\theta, \, \mathrm{d}\phi$ Zu $\mathrm{d}\hat{\chi}_0 \dots \mathrm{d}\hat{\chi}_3 .$ Der Grund ist folgender. Ursprüngliche Basis von 1-Formen ist nicht orthogonal (Metrik hat Terme außerhalb der Diagonale). Sobald wir zur orthonormalen Basis übergehen, wird es viel einfacher, einen expliziten Ausdruck für den Hodge-Sternoperator zu schreiben.

Alles andere scheint zumindest nach dem ganzen Training aus Teil II mehr oder weniger klar zu sein.

Hoffe, diese Informationen helfen. Wenn etwas unklar ist oder fehlt, lassen Sie es mich bitte wissen.

Übrigens scheint Ihr Ansatz für das Schwarze Loch von Reissner-Nordstrom äquivalent zu (1) def meiner Antwort zu sein. Ich weiß nicht, was bei dir schief gelaufen ist. Hoffentlich kann das Kapitel von Carroll einige Dinge klären.

Komar-Masse für rotierendes Schwarzes Loch

Grundstudium

TimRias

Antworten (1)

Jaroslaw Schustrow

Teil I: Eine weitere Definition von Komars konservierten Mengen

Teil II: Äquivalenz zweier Definitionen

Teil III: Hinweise zur Vorgehensweise aus dem Artikel

Jaroslaw Schustrow

Frei fallender Beobachter in der Schwarzschild-Metrik

Schwarzschild-Metrik in isotropen Koordinaten

Berechnen Sie die Masse eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs mit dem Komar-Integral [geschlossen]

Geschlossener Ausdruck für die Position als Funktion der Zeit eines Objekts, das direkt aus der Unendlichkeit in ein Schwarzes Loch fällt

Ermittlung der de-Sitter-Schwarzschild-Metrik

Walds Allgemeine Relativitätstheorie, Abschnitt 6.3 Seite 144

Lichtkrümmung um ein Schwarzes Loch [Duplikat]

Woher wissen wir, dass die Schwarzschild-Lösung ein Massenobjekt MMM enthält?

Schwarzschild-Lösung

(Warum) ist es notwendig, die Newtonsche Schwerkraft aufzurufen, um Normalisierungskonstanten in der Allgemeinen Relativitätstheorie festzulegen?