(Warum) ist es notwendig, die Newtonsche Schwerkraft aufzurufen, um Normalisierungskonstanten in der Allgemeinen Relativitätstheorie festzulegen?

Es ist nicht. Sie können die Gravitationskonstante durch Experimente zu 100 % festlegen. Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, ein klassisches Freifallexperiment auszuwählen. Hier ist die Version mit nur einigen unbenannten Konstanten$\kappa$Wo

$$G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$$

Wenn Sie die Erde als Kerr-Metrik-Quelle betrachten, dann landen wir unter Vernachlässigung des Drehimpulses (der ziemlich klein ist) bei der Schwarzschild-Metrik

$$ds^2 = -(1 - \frac{r_S}{r}) c^2 dt^2 + (1 - \frac{r_s}{r})^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

$r_s$ist der Schwarzschild-Radius, ein Parameter der Metrik. Um es zu berechnen, führen wir die Analyse der Komar-Masse durch. Wenn wir 100% ohne bestimmte Konstanten aus früheren Theorien auskommen, schreiben wir einfach die Komar-Masse als proportional zu einer Konstante.

$$M = -\alpha \int_S dA n_\mu \sigma_\nu \nabla^\mu \xi^\nu$$

mit$\xi$der normalisierte zeitähnliche Killing-Vektor (wir wählen einfach aus$c\partial_t$),$\sigma$der Vektor senkrecht zur Cauchy-Oberfläche und$n$der Vektor senkrecht zur Integrationsfläche. Die Konstante$\alpha$hängt mit der Konstante zusammen$\kappa$da das Komar-Integral alternativ in Form des Spannungs-Energie-Tensors geschrieben wird

$$M = -\alpha \int_\Sigma R_{\mu\nu} n^\mu \xi^\nu = -\alpha \kappa \int_\Sigma (T_{\mu\nu} + \frac 12 T g_{\mu\nu}) n^\mu \xi^\nu dV$$

Wir werden wirklich wollen$M$von gleicher Dimension wie die Masse sein. Seit$T$hat die Dimension einer Energiedichte, die wir wollen$\alpha = \beta / c^2 \kappa$für einige konstant$\beta$.

Dann wird die Oberfläche konstant ausgewählt$t$Und$r$als$S$, wir bekommen

$$M = -\alpha \int_S r^2 \sin \theta d\theta d\varphi \nabla^r\xi^t$$

$\nabla^r\xi^t$hat nur einen von Null verschiedenen Begriff$c g^{rr} \Gamma^t_{rt}$, was gleich ist$c g^{rr} g^{tt} g_{tt,r}/2 = -c r_S/2r^2$, So

$$M = -\alpha \int_S \sin \theta d\theta d\varphi c r_s = 8\pi c \alpha r_S$$

Dann können wir schreiben$r_S = M / 8\pi c \alpha = M \kappa / 8\pi \beta c$.

Die geodätische Gleichung für eine rein radiale Bewegung lautet dann

$$c^{-2} \dot r^2 + (1 - \frac{r_S}{r}) = E^2$$

Erweiterung der$r^{-1}$Begriff herum$R_\oplus$, den Radius der Erde, erhalten wir

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{R_\oplus} - \frac{r - R_\oplus}{R_\oplus^2} + \mathcal O(R_\oplus^{-3})$$

Dadurch erhalten Sie die Gleichung, indem Sie den kleinsten Term abschneiden,

$$c^{-2} \dot r^2 + \frac{r_S}{R_\oplus^2} r = E^2 - 1 + \frac{2r_S}{R_\oplus}$$

Nimmt man die richtige Zeitableitung,

$$c^{-3} \ddot r \dot r + 2 \frac{r_S}{cR_\oplus^2} \dot r= 0$$

oder anders gesagt,

$$\ddot r = - 2 c^2 \frac{r_S}{ R_\oplus^2}$$

Die klassische Gleichung des freien Falls, die Sie experimentell überprüfen können. Wenn Sie weniger klassische Ergebnisse wünschen, müssen Sie natürlich die geodätische Gleichung richtig lösen, was meines Erachtens nicht analytisch möglich ist (numerische Simulationen reichen dort aus).

Sie werden feststellen, dass diese Gleichung die richtige Dimension und das richtige Vorzeichen hat. Wir können dann den Ausdruck von zurückgeben$r_S$

$$\ddot r = - 2 c^3 \frac{M \kappa}{8\pi \beta R_\oplus^2}$$

Ich denke einige$c$'s sind vielleicht in der Mischung verloren gegangen, aber Sie können global sehen, dass wir ungefähr das zurückbekommen, wonach wir gesucht haben: Der freie Fall eines Objekts hängt von einigen Konstanten ab, die, wenn Sie all die verschiedenen ein wenig sortieren würden Konstanten, würde sich herausstellen$G$.

(Zunächst ein terminologischer Punkt: Heutzutage wird "klassisch" normalerweise verwendet, um "nicht Quanten" zu bedeuten, und "klassische Gravitation" und "allgemeine Relativitätstheorie" werden oft synonym verwendet. Es wäre üblicher, sich auf die nichtrelativistische Grenze zu beziehen die Sie als "Newtonsche Gravitation" bezeichnen.)

Die Einstein-Feldgleichungen (ohne kosmologische Konstante) besagen, dass der Einstein- und der Spannungs-Energie-Tensor proportional sind – nicht mehr und nicht weniger. Was wir für die Proportionalkonstante haben wollen, liegt ganz bei uns.

Wenn wir bei der Entwicklung unseres physikalischen Einheitensystems von GR gewusst hätten, dann hätten wir die Proportionalitätskonstante als gewählt$1$. Stattdessen haben wir uns durch einen historischen Zufall dafür entschieden, Einheiten zu verwenden, die in Bezug auf willkürliche Dinge definiert sind, wie z. (Genau genommen haben wir diese Einheiten in den letzten Jahrzehnten in Bezug auf wahre physikalische Größen wie Lichtgeschwindigkeit und Cäsiumatome neu definiert, aber mit bizarren Proportionalitätskonstanten, die so gewählt wurden, dass sie mit dem alten Platinbarren und der Erdrotation übereinstimmen.)

Wenn wir uns entscheiden, Masse, Länge und Zeit als separate Basiseinheiten beizubehalten (was uns daran hindert, die Proportionalitätskonstante auf$1$), dann ist die Proportionalitätskonstante einfach ein freier Parameter, der ohne Bezug auf das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation durchaus direkt gemessen werden kann. Nennen$\kappa$.

Es ist eine nützliche Übung zu zeigen, dass die Einstein-Gleichung im nichtrelativistischen Grenzfall (ein Begriff, der natürlich sorgfältig definiert werden muss) impliziert, dass ein nichtrelativistisches Massenteilchen vorliegt$M$zieht alle anderen nichtrelavistischen Teilchen mit einer Beschleunigung an

$$|{\bf a}| = \frac{\kappa}{8 \pi} \frac{M}{r^2},$$

Wo$r$ist der Abstand zum angezogenen Teilchen. Dies ist nur Newtons Gesetz der universellen Gravitation, wenn wir es zulassen$G = \kappa / (8 \pi)$. Dies ist eine nützliche Übung in GR (und war natürlich eine entscheidende Plausibilitätsprüfung, bevor wir direkte experimentelle Tests von GR hatten), aber die Tatsache, dass der Vorfaktor letztendlich ist$\kappa / (8 \pi)$ist nicht besonders interessant oder bedeutsam. (Zum Beispiel gilt es nicht für andere Anzahlen von Dimensionen.) Tatsächlich ist es also Einsteins Gleichung, die die Form von Newtons Gesetz der universellen Gravitation bestimmt, nicht umgekehrt.

Der Grund, warum wir normalerweise die Proportionalitätskonstante gleich setzen$8 \pi G$anstatt es einfach anzurufen$\kappa$oder etwas läuft wieder auf einen historischen Zufall hinaus - wir hatten bereits eine genau gemessene Konstante mit den richtigen Einheiten, die sich auf die Schwerkraft bezog, also haben wir sie einfach wiederverwendet. Da ist nichts tief.

Wenn wir eine Theorie entwickeln, ist es notwendig, dass sie sich auf die Theorien reduziert, die wir in bestimmten Regimen beobachten. In diesem Fall müssen wir sicherstellen, dass die aus den Einstein-Gleichungen abgeleitete Gravitationstheorie mit jeder Theorie übereinstimmt, die wir in Bezug auf langsame Körper und schwache Gravitationsfelder (dh Newtonsche Gravitation) haben. Hier kommt es auf den Faktor an$8\pi G/c^4$kommt aus den Einstein-Gleichungen.

Um das Wesentliche Ihrer Frage zu beantworten: Wir erwarten nicht, dass GR in sich geschlossen ist. In jeder Theorie, die Raumzeit mit Materie koppelt, müssen wir angeben, wie stark diese Kopplung ist. Die unterschiedlichen Kopplungskonstanten (dh unterschiedliche Werte von G) führen zu unterschiedlichen quantitativen Messergebnissen in der Newtonschen Grenze. Um diese zu beheben, vergleichen wir einfach die Ergebnisse, die wir bei niedrigen Energien erhalten, mit der Niederenergiegrenze unserer Theorie. Dies ist ein unglaublich häufiges Thema in der Physik. Wir verwenden "Hinweise" aus der Niedrigenergiephysik, um die Anforderungen in unserer Hochenergietheorie festzulegen.

Es ist nützlich zu beachten, dass GR relativ einzigartig ist. Es leitet sich aus dem Postulat ab, dass$G_{\mu\nu}\propto T_{\mu\nu}$für einen Tensor$G$. Dann verlangen wir das$G$enthält höchstens Ableitungen zweiter Ordnung von$g$, und dass es kovariant konserviert ist (seit dem Energie-Impuls-Tensor). Dies legt die Einstein-Gleichungen effektiv auf eine Proportionalitätskonstante fest, die wir wiederum aus unseren Niedrigenergieexperimenten ableiten.

Ich hoffe, das hat geholfen!

Ist es überhaupt notwendig, klassische Ergebnisse zu verwenden?

Natürlich. Jede neue Theorie in der Physik muss aktuelle Theorien in den Bereichen replizieren, in denen diese aktuellen Theorien bereits sehr gute Arbeit bei der Vorhersage von Verhaltensweisen leisten. Das gilt auch für die Quantenmechanik.

Die Newtonsche Gravitation sagt das Verhalten im Grenzbereich kleiner Dichten, großer Entfernungen und kleiner Geschwindigkeiten ziemlich gut voraus, mit einer sehr kleinen Abweichung von Beobachtungen in Bezug auf die Umlaufbahn des Merkur. Die allgemeine Relativitätstheorie muss das fast Newtonsche Verhalten der äußeren Planeten erklären und diese kleine Diskrepanz in der Umlaufbahn von Merkur erklären. Es tut beides. Die Erklärung der anomalen Präzession von Merkur ist eine natürliche Folge der allgemeinen Relativitätstheorie. Aber die Anpassung an das nahezu Newtonsche Verhalten der äußeren Planeten war beabsichtigt.