Berechnen Sie die Masse eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs mit dem Komar-Integral [geschlossen]

In Walds GR ist das Komar-Integral Gl. (11.2.9):

$$M=-\frac{1}{8\pi}\int_S\epsilon_{abcd}\nabla^c\xi^d$$

$S$kann als 2-Sphäre die Grenze einer raumartigen Hyperfläche gewählt werden$\Sigma$so dass der zeitähnliche Tötungsvektor$\xi^a=(\partial_t)^a$ist normal$\Sigma$. Hier ist das Koordinatensystem dasjenige, das der folgenden Metrik entspricht

$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$

Daher ist das Volumenelement$\epsilon_{abcd}=r^2\sin\theta (dt)_a\wedge(dr)_b\wedge(d\theta)_c\wedge(d\phi)_d$und deshalb,

$$M=-\frac{1}{8\pi}\int_Sr^2\sin\theta (dt)_a\wedge(dr)_b\wedge(d\theta)_c\wedge(d\phi)_d\nabla^c(\partial_t)^d\\ =\frac{1}{8\pi}\int r^2\sin\theta \nabla^r(\partial_t)^td\theta d\phi$$

Hier,$\nabla^r(\partial_t)^t=g^{rr}\Gamma^t_{rt}=M/r^2$. Sie können Sean Carrolls GR überprüfen, um die Christoffel-Symbole zu finden.

Dann,$M=\frac{1}{8\pi}\int M\sin\theta d\theta d\phi=M/2$, ein Widerspruch. Was ist an meiner Berechnung falsch?