Metrische Komponenten, die durch die Einstein-Gleichung gegeben sind

Question

Metrische Komponenten, die durch die Einstein-Gleichung gegeben sind

RFeynman

In einem äußeren Bereich ohne Materie zu einem stationären Schwarzen Loch, kugelsymmetrisch, wobei die kosmologische Konstante nicht Null ist. Aus den Strukturgleichungen von Cartan für den Raum ohne Torsion erhalten wir den folgenden Ricci-Tensor ungleich Null:

R_{R 0} = 0 R_{00} = e^{- (U + v)} [\partial_{R} (e^{(- v + U)} \partial_{R} U)] + \frac{2}{R} e^{- 2 v} \partial_{R} U R_{R R} = - e^{- (U + v)} [\partial_{R} (e^{(- v + U)} \partial_{R} U] + \frac{2}{R} e^{- 2 v} \partial_{R} v R_{θ θ} = R_{ϕ ϕ} = \frac{e^{- 2 v}}{R} (\partial_{R} v - \partial_{R} U) + \frac{1}{R^{2}} (1 - e^{- 2 v})

$R_{r0} = 0 \\ R_{00} =e^{-(U + V)}[\partial_r ( e^{(-V + U)} \partial_rU)] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rU \\ R_{rr} = -e^{-(U+V)}[\partial_r(e^{(-V + U)} \partial_rU] + \frac{2}{r} e^{-2V} \partial_rV \\ R_{\theta \theta} = R_{\phi \phi} =\frac{e^{-2V}}{r}(\partial_rV - \partial_rU) + \frac{1}{r^2} (1 - e^{-2V})$

Dann werde ich gebeten, Komponenten der Metrik zu finden, die die Einstein-Gleichungen auflösen, und genau hier stecke ich irgendwie fest, ich kann die allgemeine Einstein-Gleichung schreiben:

G_{μ v} + Λ G_{μ v} = R_{μ v} - \frac{R}{2} G_{μ v} + Λ G_{μ v} = κ T_{μ v}

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu \nu}$

und wie kann man dann die Komponenten der Metrik damit finden?

Bearbeiten:

Korrigierte Einsteins Gleichung

Edit2:

Als ich die Übung noch einmal las, bemerkte ich, dass ich mehr Informationen hatte, die ich nicht in diesen Beitrag geschrieben hatte.

Die metrischen Komponenten sind gegeben durch:

D S^{2} = G_{μ v} D X^{μ} D X^{v} = η_{μ v} ω^{μ} \otimes ω^{v}

$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} = \eta_{\mu \nu} \omega^{\mu} \otimes \omega^{\nu}$

Und

\begin{aligned} ω^{0} = e^{U (R) D T} \\ ω^{1} = e^{v (R) D T} \\ ω^{θ} = R D θ \\ ω^{ϕ} = R Sünde θ D ϕ \end{aligned}

$\begin{align} \omega^0 = e^{U(r)dt} \\ \omega^1 = e^{V(r)dt} \\ \omega^{\theta} = rd\theta \\ \omega^{\phi} = r\sin\theta d\phi \end{align}$

Daraus kann ich die Metrik berechnen und schreiben:

G_{μ v} = D ich A G (- e^{2 U (R)}, e^{2 v (R)}, R^{2}, R^{2} {Sünde}^{2} θ)

$g_{\mu \nu} = diag(-e^{2U(r)}, e^{2V(r)}, r^2 , r^2 \sin^2 \theta)$

Also für die Komponente $00$ , wir schreiben:

R_{00} - \frac{R}{2} G_{00} + Λ G_{00} = 0 \Leftrightarrow R_{00} - \frac{G^{a β} R_{a β}}{2} G_{00} + Λ G_{00} = 0

$R_{00} - \frac{R}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{00} - \frac{g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}}{2}g_{00} + \Lambda g_{00} = 0$

Andreas

Erstens ist das, was Sie als Einstein-Gleichungen geschrieben haben, nicht korrekt. Definitionsgemäß _ _

G_{μ ν} \equiv R_{μ ν} - \frac{1}{2} R g_{μ ν}

$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Die Einstein-Gleichungen lauten dann

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = κ T_{μ ν}

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , Wo

κ = 8 π G / c^{4}

$\kappa=8\pi G/c^4$ ,

Λ

$\Lambda$ ist die kosmologische Konstante, und

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ist der Spannungs-Energie-Tensor. Da Sie im Vakuum arbeiten,

T_{μ ν} = 0

$T_{\mu\nu}=0$ , so lauten die Einstein-Gleichungen

G_{μ ν} + Λ g_{μ ν} = 0

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)

Eletie

Dies sind Vakuumlösungen, also haben wir auf der rechten Seite Null. Sie können dann die Nicht-Null-Komponenten durchgehen und nach den Funktionen auflösen

U

$U$ Und

V

$V$ . Hast du das schon probiert?

Andreas

(...) Zweitens sind die Einstein-Gleichungen im Allgemeinen ein Satz nichtlinearer PDEs zweiter Ordnung für die Metrik. Da Sie es jedoch mit einer kugelsymmetrischen, statischen Raumzeit zu tun haben, werden Sie wirklich mit einer ODE enden, bei der alles eine Funktion von ist

r

$r$ nur. Sie möchten also die Gleichungen in einer Form ausdrücken, in der sich diese Struktur manifestiert. Versuchen Sie als Ausgangspunkt, die zu schreiben

00

$00$ Komponente der Einstein-Gleichungen explizit in Bezug auf

U

$U$ Und

V

$V$ . Können Sie sehen, wie es Ihnen eine ODE gibt? Wenn das funktioniert, versuchen Sie es mit dem

0 i

$0i$ Und

i j

$ij$ Komponenten.

RFeynman

@Andrew Ich habe meine Frage bearbeitet und die Gleichung geschrieben, die ich bekommen habe, aber sie sieht immer noch nicht wie ODE aus. Ich weiß wirklich nicht, was mir fehlt.

Andreas

@RFeynman Nehmen wir also Ihre erste Zeile,

R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R + Λ g_{μ ν} = 0

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Dann schauen wir uns die an

00

$00$ Komponente,

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Wir wollen eine Gleichung für extrahieren

U

$U$ Und

V

$V$ . Sie müssen also die anschließen

00

$00$ Bestandteil der Metrik,

g_{00}

$g_{00}$ , der Ricci-Skalar

R

$R$ , und das

00

$00$ Komponente des Ricci-Tensors,

R_{00}

$R_{00}$ , bezüglich

U

$U$ Und

V

$V$ . In Ihrer Frage haben Sie tatsächlich

R_{00}

$R_{00}$ bereits. Sie sollten auch in der Lage sein, die Metrik zu schreiben

d s^{2} = g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

$ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ zu bekommen

g_{00}

$g_{00}$ . Der Ricci-Skalar ist

g^{μ ν} R_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .

Andreas

Seien Sie bitte auch vorsichtig. In Ihrer bearbeiteten Frage schreiben Sie auf

g^{μ ν} R_{μ ν} g_{μ ν}

$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Diese Notation "parst nicht" - in der Einstein-Summierungskonvention werden wiederholte Indizes summiert. Ein gegebener Index sollte entweder zweimal erscheinen, einmal oben und einmal unten, in diesem Fall wird er summiert und ist ein Dummy-Index. ODER , der Index soll einmal erscheinen, entweder oben oder unten, dann ist er ein "freier" Index und wird nicht summiert. Eine korrekte Schreibweise dieses Begriffs ist

g^{α β} R_{α β} g_{μ ν}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- es gibt eine implizite Summe über

α, β

$\alpha,\beta$ .

RFeynman

@Andrew Die Gleichung für die 00-Komponente ist also die, in der ich summieren muss

α

$\alpha$ Und

β

$\beta$ ?

Andreas

Der

00

$00$ Komponente ist

R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R + Λ g_{00} = 0

$R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Berechnen

R

$R$ , müssen Sie summieren

g^{α β} R_{α β}

$g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ über

α

$\alpha$ Und

β

$\beta$ . Hier, beachten Sie das

g^{α β}

$g^{\alpha\beta}$ ist die inverse Metrik , die sich von der Metrik unterscheidet

g_{α β}

$g_{\alpha \beta}$ . Inzwischen haben Sie bereits einen Ausdruck für geschrieben

R_{00}

$R_{00}$ in deiner frage. Sie sollten auch einen Ausdruck für notiert haben

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ irgendwo , um den Ricci-Tensor berechnet zu haben -- aus diesem Ausdruck können Sie bekommen

g_{00}

$g_{00}$ sowie die inverse Metrik.

RFeynman

@Andrew Vielen Dank, jetzt verstehe ich! Wie kann ich dir etwas Karma geben?

Andreas

Keine Sorge, ich freue mich, dass Sie die Frage selbst beantworten konnten!

Antworten (1)

Metrische Komponenten, die durch die Einstein-Gleichung gegeben sind

Erstens ist das, was Sie als Einstein-Gleichungen geschrieben haben, nicht korrekt. Definitionsgemäß _ _ $G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}$ . Die Einstein-Gleichungen lauten dann $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$ , Wo $\kappa=8\pi G/c^4$ , $\Lambda$ ist die kosmologische Konstante, und $T_{\mu\nu}$ ist der Spannungs-Energie-Tensor. Da Sie im Vakuum arbeiten, $T_{\mu\nu}=0$ , so lauten die Einstein-Gleichungen $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . (...)
Dies sind Vakuumlösungen, also haben wir auf der rechten Seite Null. Sie können dann die Nicht-Null-Komponenten durchgehen und nach den Funktionen auflösen $U$ Und $V$ . Hast du das schon probiert?
(...) Zweitens sind die Einstein-Gleichungen im Allgemeinen ein Satz nichtlinearer PDEs zweiter Ordnung für die Metrik. Da Sie es jedoch mit einer kugelsymmetrischen, statischen Raumzeit zu tun haben, werden Sie wirklich mit einer ODE enden, bei der alles eine Funktion von ist $r$ nur. Sie möchten also die Gleichungen in einer Form ausdrücken, in der sich diese Struktur manifestiert. Versuchen Sie als Ausgangspunkt, die zu schreiben $00$ Komponente der Einstein-Gleichungen explizit in Bezug auf $U$ Und $V$ . Können Sie sehen, wie es Ihnen eine ODE gibt? Wenn das funktioniert, versuchen Sie es mit dem $0i$ Und $ij$ Komponenten.
@Andrew Ich habe meine Frage bearbeitet und die Gleichung geschrieben, die ich bekommen habe, aber sie sieht immer noch nicht wie ODE aus. Ich weiß wirklich nicht, was mir fehlt.
@RFeynman Nehmen wir also Ihre erste Zeile, $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+\Lambda g_{\mu\nu}=0$ . Dann schauen wir uns die an $00$ Komponente, $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Wir wollen eine Gleichung für extrahieren $U$ Und $V$ . Sie müssen also die anschließen $00$ Bestandteil der Metrik, $g_{00}$ , der Ricci-Skalar $R$ , und das $00$ Komponente des Ricci-Tensors, $R_{00}$ , bezüglich $U$ Und $V$ . In Ihrer Frage haben Sie tatsächlich $R_{00}$ bereits. Sie sollten auch in der Lage sein, die Metrik zu schreiben $ds^2=g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$ zu bekommen $g_{00}$ . Der Ricci-Skalar ist $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ .
Seien Sie bitte auch vorsichtig. In Ihrer bearbeiteten Frage schreiben Sie auf $g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} g_{\mu\nu}$ . Diese Notation "parst nicht" - in der Einstein-Summierungskonvention werden wiederholte Indizes summiert. Ein gegebener Index sollte entweder zweimal erscheinen, einmal oben und einmal unten, in diesem Fall wird er summiert und ist ein Dummy-Index. ODER , der Index soll einmal erscheinen, entweder oben oder unten, dann ist er ein "freier" Index und wird nicht summiert. Eine korrekte Schreibweise dieses Begriffs ist $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta} g_{\mu\nu}$ -- es gibt eine implizite Summe über $\alpha,\beta$ .
@Andrew Die Gleichung für die 00-Komponente ist also die, in der ich summieren muss $\alpha$ Und $\beta$ ?
Der $00$ Komponente ist $R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R + \Lambda g_{00}=0$ . Berechnen $R$ , müssen Sie summieren $g^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta}$ über $\alpha$ Und $\beta$ . Hier, beachten Sie das $g^{\alpha\beta}$ ist die inverse Metrik , die sich von der Metrik unterscheidet $g_{\alpha \beta}$ . Inzwischen haben Sie bereits einen Ausdruck für geschrieben $R_{00}$ in deiner frage. Sie sollten auch einen Ausdruck für notiert haben $g_{\mu\nu}$ irgendwo , um den Ricci-Tensor berechnet zu haben -- aus diesem Ausdruck können Sie bekommen $g_{00}$ sowie die inverse Metrik.
@Andrew Vielen Dank, jetzt verstehe ich! Wie kann ich dir etwas Karma geben?
Keine Sorge, ich freue mich, dass Sie die Frage selbst beantworten konnten!

RFeynman · Answer 1

Nach einigen Tipps von @Andrew konnte ich die Übung lösen:

Wir beginnen damit, Einsteins Gleichung im Vakuum zu schreiben ( $T_{\mu \nu} = 0$ ):

G_{μ v} + Λ G_{μ v} = R_{μ v} - \frac{R}{2} G_{μ v} + Λ G_{μ v} = 0 \Leftrightarrow R_{μ v} - \frac{G^{a β} R_{a β}}{2} G_{μ v} + Λ G_{μ v} = 0

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = R_{\mu \nu} - \frac{R}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 \\ \Leftrightarrow R_{\mu \nu} - \frac{g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}}{2}g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0$

Dann stecken wir die gewünschte Komponente ein $\mu$ Und $\nu$ , dann lösen wir eine ODE für U und V und erhalten die Komponenten der Metrik.

Bearbeiten:

Um die inverse Metrik zu finden, verwenden wir, da die Metrik diagonal ist:

G_{μ v} = \frac{1}{G^{μ v}}

$g_{\mu \nu} = \frac{1}{g^{\mu \nu}}$

Metrische Komponenten, die durch die Einstein-Gleichung gegeben sind

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Andreas

Eletie

Andreas

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Andreas

Andreas

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Andreas

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