Volumen eines Universums mit k=+1k=+1k=+1

In sphärischen Koordinaten hat der räumliche Teil der Metrik die Form

$$\text{d}\sigma^2 = a^2\left(\frac{\text{d}r^2}{1-kr^2} + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right).$$ Sie können dies mit ableiten $$\begin{align} \boldsymbol{x}^2 &= r^2,\\ \text{d}\boldsymbol{x}^2 &= \text{d}r^2 + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2,\\ \boldsymbol{x}\cdot \text{d}\boldsymbol{x} &= r\text{d}r. \end{align}$$ Wenn $k=1$, können wir die Substitution verwenden $r=\sin\chi$um dies umzuschreiben als $$\text{d}\sigma^2 = g_{ij}\text{d}x^i \text{d}x^j = a^2\left(\text{d}\chi^2 + \sin^2\chi\text{d}\theta^2 + \sin^2\chi\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right),$$ mit $(x^1,x^2,x^3) = (\chi,\theta,\varphi)$. Dies ist die Metrik einer 3-Sphäre, ausgedrückt in hypersphärischen Koordinaten . Das Gesamtvolumen einer 3-Kugel ist $$V = \int_{S^3}\sqrt{|\det g|}\,\text{d}\chi\text{d}\theta\text{d}\varphi = a^3\int_0^\pi\sin^2\chi\text{d}\chi\int_0^{\pi}\sin\theta\text{d}\theta\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi = 2\pi^2a^3.$$

Vielen Dank Herr Pulsar für Ihre ausführliche und präzise Erklärung. Während ich auf eine Antwort wartete, fiel mir ein, den Wikipedia -Eintrag n-sphere zu konsultieren . Dort habe ich beobachtet, dass der Ausdruck für die n-Ball-Grenze lautet:

$$S_{n-1} = \frac{2 \pi^{\frac n 2}}{\Gamma \left (\frac n 2 \right )} \, R^{n-1}$$

Ausdruck, der, wenn er in n = 4 spezifiziert wird, R = a, mit übereinstimmt

$$2 \pi^2 a^3$$

Ich dachte, dass es für andere, die sich mit diesem Thema befassen, nützlich sein könnte, es hier zu erklären. Aber ich bevorzuge Ihre Demonstration, nochmals vielen Dank und beste Grüße.