Wie wird die erste Friedmann-Gleichung aus Einsteins Feldgleichungen abgeleitet?

Ich sehe, dass Friedmanns erste Gleichung (für flachen Raum) lautet:

( A ˙ A ) 2 = 8 π G 3 ρ .
Und ich weiß, dass Einsteins Gleichung, nur unter Berücksichtigung der Zeit-Zeit-Komponente, lautet:
R 00 − 1 2 G 00 R = 8 π G T 00 .
Und das weiß ich T 00 im Tensor ist ρ , also erhalten wir:
R 00 − 1 2 G 00 R = 8 π G ρ .
Könnte jemand bitte die fehlenden Schritte ergänzen? Wie kommen wir zu:
R 00 − 1 2 G 00 R = 3 ( A ˙ A ) 2   ?

Ich habe nie eine Lösung gefunden, die die fehlenden Schritte ausfüllt. Bestenfalls scheinen Lehrbücher (und ich habe mindestens fünf) dies nur als Übung zu belassen. Ich habe in meinem dritten Buch eine vollständige Herleitung der Friedmann-Gleichung für den Fall mit gekrümmtem Raum und kosmologischer Konstante gegeben, aber es dauert sechs Seiten der Berechnung, daher kann ich hier keine Antwort geben.
@CharlesFrancis – Stehst du für ein Gespräch in der H-Bar zur Verfügung?

Antworten (2)

Dies ist ein typisches Beispiel, bei dem eine Newtonsche Ableitung viel einfacher und schneller ist und dieselbe Antwort liefert. Was Sie leicht online finden können.

Wenn Sie dies jedoch innerhalb von GR tun möchten, müssen Sie den Ricci-Tensor-Eintrag ausarbeiten R 00 , der Ricci-Skalar R , und der metrische Eintrag G 00 :

  • G 00 = 1 ;

  • R 00 :

    R 00 = R T M T M = R R T R R + R T θ T θ + R T ϕ T ϕ = − 3 A ¨ A ,
    wobei jeder Riemann-Tensor von den Christoffel-Symbolen abhängt (zum Beispiel in Abschnitt C hier aufgeführt);

  • R :

    R = G ich k R ich k = − 6 A ¨ A − 6 ( A ˙ A ) 2 − 6 1 k 2 A 2 ,
    Wo k − 2 = 0 für flachen Raum.

Also alles zusammen:

R 00 − 1 2 R G 00 = − 3 A ¨ A + 3 A ¨ A + 3 ( A ˙ A ) 2 .

Somit:

3 ( A ˙ A ) 2 = 8 π G ρ ,
⇒ ( A ˙ A ) 2 = 8 π G 3 ρ .

Es ist erwähnenswert, dass die RHS aus dem Spannungsenergietensor einer perfekten Flüssigkeit folgt.
Ah ja, gut, auf diese Annahme hinzuweisen.
Was Sie leicht online finden können. Ich habe keine Ahnung, welche Suchbegriffe ich verwenden würde. Hast du vielleicht einen gefunden und den Link gepostet? Es wäre lehrreich zu sehen, wie es mit der Newtonschen Physik gemacht wird.
Mit „einfach“ meinte ich, dass es die Ableitung ist, die man normalerweise findet. Weniger Quellen machen die eigentliche GR-Quelle. Die meisten Skripte für Universitätsvorlesungen gehen immer klassisch.
@SuperCiocia - Verstehst du diese Ableitung? Ich kann die Handschrift nicht lesen und versuche den Schritt zu entschlüsseln, bei dem die Integrationskonstante in den Krümmungsterm umgewandelt wird. Das heißt, wie funktioniert 8 π G 3 ρ R 2 + A Und B = A ( G R ) 2 werden k C 2 A 2 in der GR-Version.
@GluonSoup B = A ( A / R ) 2 Aber ich stimme zu, dass sie mit der Mathematik ein bisschen unbekümmert sind, weil sie im Wesentlichen wissen, was sie am Ende haben sollten. Schau dir vielleicht Gl. 25 hier , die auch mit der Newtonschen Mechanik abgeleitet wird. Vielleicht ist das verständlicher.
Und was ist das R überhaupt in diesem Teil? Sollte nicht ein Krümmungsradius (auch R ) zu diesem Zeitpunkt seinen Weg in die Gleichung finden?
R ist der Radius der Kugel, des Planeten oder des Sterns. Sie haben keinen Krümmungsterm k hier, da Sie in der klassischen Mechanik sind. Aber das bekommen sie hin B Begriff. Und sie schreiben das in Bezug auf den Dichteparameter Ω 0 die auch in GR erscheint. Da ist ein Ω 0 verbunden mit der kosmologischen Konstante (constant), mit der Strahlungsdichte ( ∝ A − 4 ), mit dunkler+baryonischer Materie ( ∝ A − 3 ) und mit der 'räumlichen Krümmungsdichte', die wie folgt lautet ∝ A − 2 . Also hier "deus ex machina" und assoziieren es mit der Krümmung, weil es so ist ∝ A − 2 .

Γ A B C = 1 2 G C D ( G A D , B + G B D , A − G A B , D )

R A B = ∂ C Γ A B C − ∂ A Γ B C C + Γ A B C Γ C e e − Γ A D C Γ B C D

Bei einer gegebenen Metrik können Sie also jedes Christoffel-Symbol berechnen, und bei jedem Christoffel-Symbol können Sie den Ricci-Tensor berechnen. Einfach an der Kurbel drehen und rechnen R 00 Und R

Wie wird die erste Friedmann-Gleichung aus Einsteins Feldgleichungen abgeleitet?
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