Berechnung des Ricci-Tensors für eine kugelsymmetrische Raumzeit

Für eine Hausaufgabenfrage erhalten wir die Metrik

D S 2 = D T 2 − 2 M F D R 2 − F 2 D Ω 2   ,
wobei F eine böse Funktion von ist R Und T . Wir sollen dann zeigen, dass dies die Feldgleichungen erfüllt.

Ich weiß genau, wie ich bei dieser Berechnung vorgehen muss, aber die Algebra ist so lästig und ich mache so wahrscheinlich Fehler, dass ich mich gefragt habe, ob es einen Weg gibt, den Ricci-Tensor aus einer kugelsymmetrischen Raumzeit zu erhalten, ohne eine ganze Menge Unsinn zu machen Berechnung? Zum Beispiel hat unser Prof solche Formeln für einen Riemann-Tensor gepostet:

R 2323 = Sünde 2 ⁡ θ 4 A B ( C R 2 A − C T 2 B − 4 A B C )
wobei die Indizes eine teilweise Differenzierung bezeichnen und die Metrik die Form hat
D S 2 = A ( R , T ) D T 2 − B ( R , T ) D R 2 − C ( R , T ) D Ω 2   .
Gibt es eine Ressource, die zeigt, wie man jetzt vom Riemann zum Ricci-Tensor geht? Oder noch besser Formeln, die den Ricci-Tensor direkt für eine allgemeine kugelsymmetrische Metrik liefern?

Dieser Link könnte hilfreich sein - arxiv.org/abs/gr-qc/9602015
Ich habe keine Zeit, es manuell zu tun, aber ich habe den Ricci-Tensor und den Skalar mit Mathematica berechnet, und beide sind für ein Generikum ungleich Null F ( R , T ) , also ist es im Allgemeinen keine Lösung für die Vakuum-Einstein-Feldgleichungen.
Wenn Sie mit Differentialformen aus der Differentialgeometrie vertraut sind, empfehle ich die Cartan-Methode - sie ist viel schneller, als die gesamte Berechnung direkt durchzuführen.
@ Prahar Danke für den Link! Das ist genau das, wonach ich gesucht habe.
@JamalS Ich habe die Cartan-Methode noch nie gesehen, aber ich habe sie nachgeschlagen und ich denke, es lohnt sich definitiv, sie zu lernen.

Antworten (1)

Ich nehme an, dass die Metrik in der Frage explizit bedeutet,

D S 2 = D T 2 − 2 M F ( T , R ) D R 2 − F ( T , R ) 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ) .

Berechnet man mühsam die Krümmung, findet man den Einstein-Tensor G A B = R A B − 1 2 G A B R hat acht nicht verschwindende Komponenten. Aus den Feldgleichungen findet man zum Beispiel

T 00 = M − F ( T , R ) F R ( T , R ) 2 − F ( T , R ) 2 F R R ( T , R ) 8 π G M F ( T , R ) 2 .

Wenn man möchte, dass die Metrik die Vakuumfeldgleichungen erfüllt , kann man explizit lösen T 00 = 0 , aber es gibt noch weitere Einschränkungen F ( T , R ) von den übrigen Komponenten von T A B - Ich konnte noch nicht explizit beweisen, ob dieses System zu a gelöst werden kann F ( T , R ) für die die Metrik eine Vakuumlösung ist.

Allerdings Abwertung F ( T , R ) Zu F ( R ) Um das System etwas einfacher zu machen, gibt es sicherlich eine Auswahl an F ( R ) für die die Metrik eine Vakuumlösung ist, z

F ( R ) = [ 3 2 ( ± 2 M R + C ) ] 2 / 3

für C ∈ R , was mich sicherlich vermuten lässt, dass es zeitabhängig ist F ( T , R ) für die die Metrik auch eine Vakuumlösung ist.

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