Überprüfung einer Lösung für Einsteins Vakuumfeldgleichungen

Das Linienelement in Bezug auf die Metrik$g_{\mu\nu}$wird gegeben von,

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$

Da Sie im Beitrag nicht das gesamte Linienelement angegeben haben, kann ich nur sagen$g_{tt} =a$Und$g_{rr}=b$. Wenn es so ist$a,b$Konstanten sind, sowie alle anderen Komponenten der Metrik, dann trivialerweise$R_{\mu\nu}=R=0$.

---

Andernfalls müssen Sie den Ricci-Tensor ziemlich genau berechnen$R_{ab}$direkt. Es gibt jedoch eine viel schnellere Methode als die Verwendung von Christoffel-Symbolen, die als Cartan- Formalismus bezeichnet wird . Ich habe es in anderen Antworten zusammengefasst, siehe:

• Einige Hinweise zum Spezialfall des metrischen Tensors in GR
• Berechnung des Riemann-Tensors für eine 3-Sphäre
• 5D-Ricci-Krümmung

Ganz schnell: Sie wählen eine Orthonormalbasis$e^a_\mu$so dass$\eta_{ab}e^a_\mu e^b_\nu = g_{\mu\nu}$, und Sie können Verbindungskomponenten ablesen$\omega^a_b$aus$de^a + \omega^a_b \wedge e^b = 0$. Die Krümmung ist 2-Form$R=d\omega^a_b + \omega^a_c \wedge \omega^c_b$.

Darüber hinaus empfehle ich den Vortrag von Ruth Gregory auf perimeterscholars.org, der eine Einführung in die Methode bietet, und vorbereitende Einführungen in Differentialformen, falls Sie damit nicht vertraut sind.

---

Wenn Sie eine Metrik erhalten$g_{\mu\nu}$, und Koordinaten ändern, beschreiben Sie immer noch dieselbe Mannigfaltigkeit; Die allgemeine Relativitätstheorie ist unter Diffeomorphismen invariant.