Wie lautet die Bewegungsgleichung für die folgenden beiden Aktionen? [geschlossen]

Sie müssen die folgenden Formeln verwenden

$$\begin{equation} \begin{split} \delta \Gamma^c_{ab} &= \frac{1}{2} \left( \nabla_a h_b{}^c + \nabla_b h_a{}^c - \nabla^c h_{ab} \right) + O(h^2) ~, \\ \delta R^a{}_{bcd} &= \frac{1}{2} \nabla_c \nabla_d h_b{}^a + \frac{1}{2} \nabla_c \nabla_b h_d{}^a - \frac{1}{2} \nabla_c \nabla^a h_{db} -\frac{1}{2} \nabla_d \nabla_c h_b{}^a -\frac{1}{2} \nabla_d \nabla_b h_c{}^a + \frac{1}{2} \nabla_d \nabla^a h_{cb} ~, \\ \delta R_{ab} &= \frac{1}{2} \left( \nabla_c \nabla_a h_b{}^c + \nabla_c \nabla_b h_a{}^c - \nabla^2 h_{ab} - \nabla_a \nabla_b h \right) + O(h^2) ~, \\ \delta R &= - R_{ab} h^{ab} + \nabla_a \nabla_b h^{ab} - \nabla^2 h + O(h^2) ~, \\ \delta \det g &= h \det g + O(h^2) ~. \\ \end{split} \end{equation}$$ Wo $h_{ab} = \delta g_{ab}$. Sie sollten nun in der Lage sein, die beiden Aktionen zu variieren und die Bewegungsgleichungen zu bestimmen.

BEARBEITEN - Lassen Sie mich es für Sie für die erste Aktion ausarbeiten, nämlich

$$S = \int d^d x \sqrt{-g} g^{ac} g^{bd} R_{ab} R_{cd}$$ Dann, $$\begin{align} \delta S &= \int d^d x \left[ \delta \sqrt{-g} g^{ac} g^{bd} R_{ab} R_{cd} + 2 \sqrt{-g} \delta g^{ac} g^{bd} R_{ab} R_{cd} + 2 \sqrt{-g} g^{ac} g^{bd} \delta R_{ab} R_{cd} \right] \\ &= \int d^d x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2} h R_{ab} R^{ab} - 2 h^{ab} R_{ac} R^c{}_b + R^{ab} \left( 2 \nabla_c \nabla_a h_b{}^c - \nabla^2 h_{ab} - \nabla_a \nabla_b h \right) \right] \\ &= \int d^d x \sqrt{-g} \left[ \frac{1}{2} g_{ab} R_{cd} R^{cd} - 2 R_{ac} R^c{}_b + \nabla^c \nabla_a R_{bc} + \nabla^c \nabla_b R_{ac} - \nabla^2 R_{ab} - g_{ab} \nabla_c \nabla_d R^{cd} \right] h^{ab} \end{align}$$ Wir können dann die Bewegungsgleichungen ablesen als $$\frac{1}{2} g_{ab} R_{cd} R^{cd} - 2 R_{ac} R^c{}_b + \nabla^c \nabla_a R_{bc} + \nabla^c \nabla_b R_{ac} - \nabla^2 R_{ab} - g_{ab} \nabla_c \nabla_d R^{cd} = 0~.$$

Diese beiden Formen sind gleichwertig. Dies gilt für den Weyl-Tensor genauso wie

$${\cal L}~=~\sqrt{-g} C^{\mu\nu\rho\sigma} C_{\mu\nu\rho\sigma}$$ Wo $C^{\mu\nu\rho\sigma}$ist der Weyl-Tensor. Die Euler-Lagrange-Gleichung ergibt die folgende Differentialgleichung, die Bach-Gleichung genannt wird $$\nabla_\mu\nabla_\nu C^{\mu\alpha\beta\nu}~+~\frac{1}{2}R_{\alpha\beta}C^{\mu\alpha\beta\nu}~=~0.$$ Das ist ziemlich interessant, denn in konform flachen Raumzeiten ist die Ricci-Krümmung eine Art eigenwertiger Tenor. Um nun auf die Riemann-Krümmung zu verallgemeinern, die wir verwenden müssen $$R^{\mu\alpha\beta\nu}~=~C^{\mu\alpha\beta\nu}~-~\frac{1}{n-2}\left(R_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}~-~R_{\mu\beta}g_{\alpha\nu}~+~R_{\alpha\beta}g_{\mu\nu}~-~R_{\alpha\nu}g_{\mu\beta}\right)$$ $$~-~\frac{1}{(n-1)(n-2)}R(g_{\mu\beta}g_{\alpha\nu}~-~R_{\mu\nu}g_{\alpha\beta}),$$ Wo $n$ist die Dimension des Raums, der als angenommen wird $n=4$. Sie können sehen, wie diese Bach-Gleichung aussieht.

Dieser Lagrangian taucht in der Stringtheorie auf. wo die Gravitonen beschrieben werden$\alpha'R^{abcd}R_{abcd}$für$\alpha'$der Saitenparameter oder die Spannung.