Ricci-Skalar im Skalarfeld in gekrümmter Raumzeit

Question

Ricci-Skalar im Skalarfeld in gekrümmter Raumzeit

Benutzer33941

Ich habe mir kürzlich auf Seite 8 unter http://www.unc.edu/~mgood/research/Carroll_QFT_CS.pdf einen Lagrangian eines Skalarfelds in gekrümmter Raumzeit angesehen . Ich bin kein Physiker und studiere derzeit Einführung in die Physik in der High School, aber meines Wissens ist ein Lagrange-Operator im Grunde die kinetische Energie minus der potentiellen Energie. In diesem Lagrange verstehe ich den kinetischen Teil, aber ich verstehe nicht den potentiellen Teil. Ist es $-1/2m^2\phi^2 -(1/6)R\phi^2$ oder nur $-1/2m^2\phi^2$ ? Kann ein Ricci-Skalar einfach so an ein Skalarfeld gekoppelt werden?

Da der Ricci-Skalar gleich dem Ricci-Krümmungstensor multipliziert mit dem Kehrwert des metrischen Tensors ist und einige Identitäten verwendet werden, kann die Einstein-Feldgleichung neu angeordnet werden $R(u,v)=k(T(u,v)-(1/2)Tg(u,v))$ - Wie steht der Ricci-Skalar genau mit dem Energie-Impuls-Tensor in Beziehung, mit anderen Worten, kann er in Form des Energie-Impuls-Tensors ausgedrückt werden, sagen wir die Diagonale des Energie-Impuls-Tensors (durch Multiplizieren der Energiedichte T00 mit den Impulstermen). T11, T22, T33?Bitte beachten Sie, dass ich kein Experte auf dem Gebiet bin, aber gerne mehr über das Gebiet erfahren würde.

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Ricci-Skalar im Skalarfeld in gekrümmter Raumzeit

Friedrich Brünner · Answer 1

Ja, Sie können sich den Ausdruck ansehen

- \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} - \frac{1}{6} R ϕ^{2}

$-\frac12m^2\phi^2-\frac16R\phi^2$

als potentielle Energie. Vergleichen Sie es mit dem harmonischen Oszillator: Seine potenzielle Energie wird durch einen quadratischen Term angegeben. Der Ricci-Skalar kann dann einfach als Beitrag zum Quadrat der Skalarmasse interpretiert werden.

Um Ihre Frage zu beantworten, ob dies möglich ist oder nicht: Bei der Konstruktion einer Feldtheorie versucht man immer, eine Lagrange-Funktion aufzuschreiben, die aus Termen besteht, die Symmetrien berücksichtigen, die man von der Theorie verlangt. Der Ricci-Skalar ist koordinateninvariant und einfach und daher eine gute Wahl für einen Begriff in der Lagrange-Funktion.

Betrachten Sie in Bezug auf Ihre letzte Frage die Einstein-Gleichungen:

R_{μ v} - \frac{1}{2} R G_{μ v} = 8 π T_{μ v},

$R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu},$

was den Spannungs-Energie-Tensor komponentenweise mit dem Ricci-Tensor in Beziehung setzt $R_{\mu\nu}$ , die Metrik $g_{\mu\nu}$ und der Ricci-Skalar. Sie können jetzt die Spur auf beiden Seiten aufnehmen $d$ Maße gegeben durch

\frac{2 - D}{2} R = 8 π T_{μ v} G^{μ v} .

$\frac{2-d}{2}R=8\pi T_{\mu\nu}g^{\mu\nu}.$

In 4 Dimensionen reduziert sich dies auf

- R = 8 π (T_{00} G^{00} + T_{11} G^{11} + T_{22} G^{22} + T_{33} G^{33}),

$-R=8\pi(T_{00}g^{00}+T_{11}g^{11}+T_{22}g^{22}+T_{33}g^{33}),$

das könnte die Beziehung sein, nach der Sie suchen.

Ricci-Skalar im Skalarfeld in gekrümmter Raumzeit

Benutzer33941

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Friedrich Brünner

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