Verstehen, warum eine stationäre und kugelsymmetrische Metrik automatisch statisch ist

Question

Verstehen, warum eine stationäre und kugelsymmetrische Metrik automatisch statisch ist

Beyond-Formeln

Blau sagt in seinem GR-Buch, dass eine stationäre und kugelsymmetrische Metrik automatisch statisch ist. Er sagt, dies folgt leicht aus der Tatsache, dass für eine stationäre Metrik und in Kugelsymmetrie in Koordinaten $(t,r,\theta,\phi)$ geeignet, diese beiden Tatsachen auszudrücken, die einzige zulässige Nebendiagonale $g_{tk}$ -Term der Metrik ist $C(r)=g_{tr}(r)$ , so, dass die $(t,r)$ -Teil der Metrik nimmt die Form an

d s^{2} = - EIN (r) d t^{2} + B (r) d r^{2} + 2 C (r) d t d r .

$ds^2=-A(r)\,dt^2+B(r)\,dr^2+2C(r)\,dtdr.$

Er fügt dann hinzu $C(r)$ kann durch eine Koordinatentransformation eliminiert werden $T(t,r)=t+\psi(r)$ , und $\partial_t=\partial_T$ ist also orthogonal zu den Flächen von konstant $T$ .

Meine Frage woher kann man das wissen $\partial_t=\partial_T$ ist also orthogonal zu den Flächen von konstant $T$ ?

Timäus

Soll man sich eine aussuchen

Ψ (r)

$\Psi (r)$ damit es funktioniert oder hast du vergessen uns was zu sagen

Ψ (r)

$\Psi (r)$ ist?

Magma

Beyond: Ich kann online kein Buch von Blau finden. Es gibt jedoch Vorlesungsunterlagen. Ich ermutige Sie dringend, jedes erwähnte Werk genau zu zitieren und zu verlinken , damit andere Benutzer es leicht finden können.

Antworten (2)

Verstehen, warum eine stationäre und kugelsymmetrische Metrik automatisch statisch ist

Soll man sich eine aussuchen $\Psi (r)$ damit es funktioniert oder hast du vergessen uns was zu sagen $\Psi (r)$ ist?
Beyond: Ich kann online kein Buch von Blau finden. Es gibt jedoch Vorlesungsunterlagen. Ich ermutige Sie dringend, jedes erwähnte Werk genau zu zitieren und zu verlinken , damit andere Benutzer es leicht finden können.

Nichttrivialität · Answer 1

Das ist nur ein sehr grundlegendes Konzept, wie Sie (gekrümmte) Koordinaten auswählen.

Denken Sie vielleicht zuerst an das Beispiel eines euklidischen Koordinatensystems. Dort dein Koordinatenbasisvektor $\partial_x$ ist auch orthogonal zu konstanten Flächen $x$ .

Dasselbe gilt auch für gekrümmte Koordinaten.

Wenn Sie möchten, können Sie Ihre Oberfläche auch parametrisieren $T=const.$ als Funktion von $S_T=S_T(r,\theta,\phi)$ , bilde die Tangentialvektoren $\partial_r S_T, \partial_\theta S_T, \partial_\phi S_T$ und überprüfen Sie, ob diese orthogonal zu sind $\partial_T$ (verwenden Sie, dass die Metrik diagonal ist).

Eine weitere einfache Übung besteht darin, den Normalenvektor zur Oberfläche zu bilden: Charakterisieren Sie die Oberfläche als Skalarfunktion der Koordinaten $f(T,r,\theta,\phi)$ und die Anforderung $f=0$ . Berechnen Sie den Normalenvektor, der definiert ist durch:

n^{v} = g^{v μ} \partial_{μ} f

$n^\nu=g^{\nu\mu}\partial_\mu f$

(Natürlich sind beide 'Berechnungen' gleichwertig.)

Magma · Answer 2

Wie ich in meinem Kommentar oben sagte, konnte ich kein Buch von Blau finden. In seinen Vorlesungsnotizen auf Seite 481 nimmt er die von Ihnen erwähnte Transformation vor. Im Detail beginnt er mit der Metrik in $(t,r)$ in Gl. 23.1, die diagonale Terme hat, macht die Transformation 23.3, die einführt $T$ , dann findet er eine passende $\psi$ , und schließlich schreibt er die Metrik in (T und r) ohne die diagonalen Terme um, aber ... - ohne dies explizit zu sagen - anstatt das neue zu verwenden $T$ er benennt es wieder um $t$ in Gl. 23.5. Es ist nur eine Umbenennungsoperation mit einer alten Variablen, nichts Besonderes. Nicht schön, aber leider alltäglich. Das sind Notizen für Fortgeschrittene, die das im Handumdrehen sehen sollen. Er wiederholt dies ein paar Zeilen später, wenn er sich vorstellt $R(r)$ nur um es wieder umzubenennen $r$ in der nächsten Gleichung.

Verstehen, warum eine stationäre und kugelsymmetrische Metrik automatisch statisch ist

Beyond-Formeln

Timäus

Magma

Antworten (2)

Nichttrivialität

Magma

Ist (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ rechts)\phi=0 wie ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left( g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

Zeigen Sie, dass zwei Kurvenscharen orthogonal sind (ohne orthogonale Trajektorien zu verwenden)

Frei fallender Beobachter in der Schwarzschild-Metrik

Berechnung des Ricci-Tensors für eine kugelsymmetrische Raumzeit

Determinante des metrischen Tensors

Wie ändert man die Koordinaten dieser Metrik?

Interpretation normaler Koordinaten

Masseloses schwarzes Kerr-Loch

Wie wird der sphärische Koordinatenmetriktensor hergeleitet? [geschlossen]

Wie erhalten Sie die Zeitdilatation von g00g00g_{00} im Allgemeinen und von der Schwarzschild-Metrik im Besonderen?