Gilt Birkhoffs Theorem innerhalb des Ereignishorizonts?

Es gibt mehr als eine Möglichkeit, den Satz von Birkhoff zu formulieren, aber eine Aussage ist, dass kugelsymmetrische Vakuumlösungen Schwarzschild sind. Statizität ist keine Annahme, noch ergibt sich daraus Statizität, da die Schwarzschild-Metrik innerhalb des Horizonts nicht statisch ist. Es ist jedoch asymptotisch statisch. Für einen Beweis, dass ich denke, dass dies richtig gehandhabt wird, siehe Abschnitt 7.4.6 meines GR-Buchs .

Ben Crowells Antwort ist richtig. Ich hoffe ich konnte ein wenig aufklären. Geht man von den beiden folgenden Annahmen aus:

1. $R_{ab} = 0\;$(dh Feldgleichung im Vakuum)
2. Die Metrik kann in das Formular geschrieben werden $${\rm d}s^2 = g_{uu}(u,v) {\rm d}u^2 + 2 g_{uv}(u,v) {\rm d}u {\rm d}v + g_{vv}(u,v) {\rm d}v^2 + f^2(u,v) \left( {\rm d}\theta^2 + \sin^2(\theta) \, {\rm d}\phi^2 \right)$$

dann kann gezeigt werden (Birkhoff), dass es Koordinaten gibt, in denen die Metrik die Schwarzschild-Form annimmt. Übernahme der üblichen Koordinatennamen$t,r,\theta,\phi$davon muss man nicht ausgehen$r$eine raumartige Koordinate ist; das Ergebnis gilt sowohl innerhalb als auch außerhalb des Horizonts.

Der obige Punkt (2) ist natürlich ein Versuch, den Begriff der "sphärischen Symmetrie" zu erfassen, ohne weitere Annahmen aufzuerlegen. Man könnte weitere Argumente liefern, um zu zeigen, warum diese Form gelten muss, wenn die Situation eine Rotationssymmetrie um zwei verschiedene Achsen hat.

Die Lösung ist nicht eindeutig, wenn Sie Quellen haben können. Und Birkhoff kann immer noch mit Quellen arbeiten.

Tatsächlich deckt Birkhoff den Fall eines kugelsymmetrischen Sterns ziemlich leicht ab. Sie können eine Lösung von Parametern zusammenfügen$M$und eine Lösung von Parametern$M+m$Schneiden Sie einfach das Innere des Parameters aus$M+m$Lösung und schneiden Sie die Außenseite des Parameters aus$M$Lösung und nähen sie zusammen auf einer Fläche mit gemeinsamer Fläche und Ort$mc^2$Energie an der Grenzfläche.

So würde ein echter (kugelsymmetrischer) Stern aussehen. Beachten Sie, dass sich die Lösung unter dieser Schicht ändert, wenn Sie auf eine Energieschicht stoßen. Daher ist es wichtig zu wissen, wo sich die Energie befindet.

Schauen wir uns also ein Schwarzes Loch an. Wenn wir erwarteten, dass es sich aus zusammenziehenden Schichten des Sterns bildet, stellen wir fest, dass es nur die Geschichte der Schichten ist, bevor sie den Ereignishorizont erreichen, die uns beeinflussen. Eine sehr innere Schicht ist ziemlich zeitgedehnt und wir sehen sie immer noch aus der Zeit, bevor sich der Horizont gebildet hat. Eine mittlere Schicht ist ziemlich zeitgedehnt und wir sehen sie immer noch, bevor der Ereignishorizont diese Schicht erreicht hat. Und für eine äußere Schicht ist es ein bisschen zeitgedehnt und wir sehen es von vor dem Ereignishorizont, der zu dieser äußeren Schicht geht.

Wir könnten modellieren, wie die Schichten hineingefallen sind, und so Lösungen für das Innere erhalten, aber sie hängen davon ab, wann genau jede Schicht gekreuzt wurde.

Ein einfach zu berechnendes Beispiel ist eine einzelne Staubschicht, die im freien Fall von einem Anfangsradius r kollabierte. Von innen sieht es aus wie Minkowski. Schwarzschild-Parameter$M$nach außen und die Grenze zwischen Innen und Außen verschiebt sich nach innen. Sie könnten (mathematisch) die Hülle bis zum Auftreffen auf die Singularität verfolgen, und an diesem Punkt gibt es keine Minkowski-Raumzeit mehr.

Aber man könnte auch ein ewiges schwarzes Loch haben, wo immer Schwarzschild draußen für jedes Ereignis draußen war. Aber das sagt dir nicht, welche Muscheln drin sind.

Eine Lösung besteht darin, dass sich am Ereignishorizont eine Hülle mit Null-Ruhemassenenergie befindet, die sich mit Lichtgeschwindigkeit entfernt. Diese ewige Lösung hat Schwarzschild-Raumzeit (außerhalb des Ereignishorizonts) von Parametern$M$und hat Minkowski-Raumzeit (innerhalb des Ereignishorizonts). Und hatte immer und immer diese Lösung. Es gibt nur Energie an der Schnittstelle. Die Energie hat zufällig keine Ruhemasse und bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit. Und es bewegt sich zufällig nach außen. Die Lösung ist also für immer statisch, da die Energie am Ereignishorizont bleibt.

Eine andere Lösung hat überhaupt keine Energie am Ereignishorizont oder anderswo, es sind alles Schwarzschild-Parameter$M$den ganzen Weg (Sie können es Kruskal-Szekeres nennen, ich versuche nur zu sagen, dass es ohne Energie oder Quellen immer derselbe Parameter sein kann).

"Nachdem du hineingekommen bist, würdest du immer noch die ganze Masse dort drinnen mit dir sehen" ... Ich denke, das ist falsch. Das hineingefallene Material wird ursächlich von Ihnen getrennt, unabhängig von Ihren Bewegungen danach.

Sie müssen nicht darüber nachdenken, Sie können sich einfach ein Penrose-Carter-Diagramm ansehen. Eine einfache ist nur Kruskal-Szekeres-Koordinaten statt$r$Und$t.$Je nachdem, wie viel früher die Materie eingetreten ist, verglichen mit dem Zeitpunkt, als Sie hineingegangen sind, werden Sie sich möglicherweise nicht mit ihr treffen, und Sie können möglicherweise nicht ihre gesamte Präsingularitätszukunft sehen, aber wenn Sie den Horizont überqueren, sehen Sie alles, was früher passiert ist . Und nachdem Sie durchgekommen sind, sehen Sie Teile, nachdem sie durchgegangen sind.

Zeichnen Sie ein Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem. Wählen Sie ein Ereignis am Ereignishorizont aus, an dem Sie es überqueren. Nehmen Sie den Vorwärtskegel mit dem Teil, der mit Lichtgeschwindigkeit hereinrauscht (das ist einfach die Fortsetzung des nach innen gehenden Lichtkegels von außen, wenn Sie nach innen verwirrt sind), und nehmen Sie an dem Ereignis, an dem er die Singularität schneidet, den vergangenen Lichtkegel von dieses Ereignis. Dann nehmen Sie den vergangenen Lichtkegel aller Ereignisse auf der Singularität näher an Ihre Außenseite als als Ereignis. Ihre Vereinigung ist alles, was Sie sehen konnten.

Aber der vordere Lichtkegel der einfallenden Materie, der vor Ihnen ging, schließt Ihre Weltlinie ein, und es gibt kein Umkommen (zumindest für die Teile, die ähnlich genug zu dem sind, wohin Sie gegangen sind, und vorausgesetzt, es wird nicht zerstört, was es wäre, wenn Ihr Stern bestand aus Schichten von Materie und Antimaterie, aber Sie würden immer noch die Strahlung von der Vernichtung dieser Schichten sehen). Auch hier müssen Sie nicht nachdenken, sondern nur das Bild zeichnen.

Wenn Sie darauf bestehen, etwas aus Materie Gebildetes zu betrachten, dann betrachten Sie eine endliche kugelförmige Verteilung von Spannungsenergie innerhalb eines scheinbaren Horizonts. Lass es sich entwickeln und ein Ereignishorizont wird sich bilden und alle Materie wird ihn in endlicher Eigenzeit durchqueren und in endlicher Eigenzeit auf eine Singularität treffen. In endlicher Zeit werden wir eine Vakuumlösung haben.

Das ist so vage, dass man es nicht lesen kann. Wenn Sie eine Quellenhülle hätten, die einfallen würde, könnte sich das Licht dieser Ereignisse per Definition am Ereignishorizont nach außen bewegen und auf dem Ereignishorizont bleiben, sodass Sie es buchstäblich sehen würden, wenn Sie es überqueren. Ihre Überquerung wäre ein Ereignis, bei dem Sie sehen, wie das Licht von der Überquerung Sie erreicht, wenn Sie überqueren. Und wenn es einfällt, bis es die Singularität trifft, dann wird das nach außen gehende Licht von diesem Einfall die inneren Ereignisse des Ereignishorizonts füllen.

Daher siehst du immer wieder die einfallende Materie. Sicher, wenn es eine Granate war, die langsam fiel und Sie hereinkamen, könnten Sie vielleicht schneller hineinstürmen und in eine Region der Minkowski-Raumzeit gelangen. Aber der Punkt steht immer noch, die Materie ist drinnen und Sie sehen es, wenn Sie überqueren (wie aus einem Diagramm hervorgeht), also sind echte Schwarze Löcher nicht einmal für Ereignisse, die außerhalb des vergangenen Lichtkegels der Überquerung der äußersten Schicht liegen, vakuum . Jeder sieht die Sache immer als geformt.