Gibt es einen *globalen* zeitähnlichen Tötungsvektor in der Schwarzschild-Geometrie?

Ich habe mich kürzlich mit dem folgenden Problem im Zusammenhang mit der Schwarzschild-Geometrie befasst. Wenn ausgedrückt als:

D S 2 = − ( 1 − 2 G M R ) D T 2 + 1 1 − 2 G M R D R 2 + D Ω 2 2

man kann einen Tötungsvektor finden ξ = ∂ T , da es keine abhängigen Komponenten der Metrik gibt T . Dieser Tötungsvektor ist zeitähnlich R > 2 G M , aber raumartig für R < 2 G M (seit ξ μ ξ μ = − ( 1 − 2 G M R ) ). Meine Frage ist:

  1. Können wir einen zeitähnlichen Vektor für die Region finden? R < 2 G M ?
  2. Wenn nicht, würde dies bedeuten, dass die Schwarzschild-Lösung für nicht stationär ist R < 2 G M . Aber es wird normalerweise als "statische Raumzeit" bezeichnet. Für die Region würde das nicht gelten R < 2 G M . Ist das also ein Sprachmissbrauch?

Antworten (3)

Das sind nur vier Tötungsvektoren von Schwarzschild. Sie sind ∂ T und die drei rotierenden Tötungsvektoren. Keine lineare Kombination davon ist innerhalb des Horizonts global zeitähnlich, also gibt es keinen globalen zeitähnlichen Tötungsvektor.

Ich nehme an, ob Schwarzschild statisch ist oder nicht, hängt von der eigenen Definition von "statisch" ab. Wenn Sie es so definieren, dass es einen globalen zeitähnlichen Killing-Vektor gibt, dann ja, Schwarzschild ist nicht statisch. Ich denke jedoch, dass das Wort implizit verwendet wird, um sich nur auf Flecken von Raumzeiten zu beziehen. Die Region außerhalb des Horizonts könnte also tatsächlich als „statisch“ bezeichnet werden. So auch bei de Sitter, wo man oft vom „statischen Patch“ spricht.

Die akzeptierte Antwort von user1379857 besagt, dass dies nur in einem Patch definiert ist, aber das ist albern. Welcher Patch wäre der richtige Patch? Der Begriff „stationär“ wird oft so verstanden, dass er „asymptotisch stationär“ bedeutet. Einige Autoren verwenden asymptotische Stationarität als ihre Definition von „stationär“. Andere, wie Carroll, verwenden den Kontext, um die Definition eindeutig zu machen.
Ja, ich glaube, die Standardverwendung ist, dass nur das Äußere eines Schwarzen Lochs von Schwartzchild statisch ist, nicht das Innere.
Fast wahr. Die innere Schwarzschild-Metrik mit kritischem Kompaktheitsparameter a = R S / R niedriger als 8 / 9 , ist auch statisch. Dasselbe gilt für jede andere Innenlösung, aber in diesem Fall die kritische a ist niedriger als 8 / 9 .

Vermuten ξ ist ein Killing Field. Dann ist sein Fluss eine lokale Isometrie, also für jeden Skalar K wir haben das die Ableitung von K in der Richtung von ξ ist null dh D K ( ξ ) = 0 . Nimm den Kretschmann-Skalar für K , das impliziert das D R ( ξ ) = 0 . Deshalb haben Sie das innerhalb des Horizonts ξ μ ξ μ > 0 , weil alle Terme positiv sind und die D R term ist null, kann also nicht zeitartig sein.

Eine Zeitlinienkoordinate dreht sich nur dann um, wenn man annimmt, dass die Schwarzschildsche Vakuumlösung auch im Inneren eines Schwarzen Lochs gültig ist. Aus meiner Sicht ist es nicht richtig. Eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen überspannt die gesamte Raumzeit. Im Falle einer konstanten Energiedichte in einem Bereich der Raumzeit (Stufenfunktion) kann die Lösung (Metrik) in zwei Teile gegossen werden: einen inneren und einen äußeren. Es ist zulässig, nur mit einem von ihnen zu arbeiten und sie miteinander zu verkleben, aber es ist nicht zulässig, sie über ihren Geltungsbereich hinaus auszudehnen. Beispielsweise bleibt die Schwarzschild-Innenraumlösung statisch, wenn auch möglicherweise nicht stabil, sogar oberhalb des kritischen Kompaktheitsparameters a = 8 / 9 . Aus dieser Sichtweise entstand die Idee von Pawel O. Mazur und Emil Mottola zu Gravastar, https://en.wikipedia.org/wiki/Gravastar . Ihr Papier können Sie hier lesen: https://arxiv.org/abs/1501.03806 . Wenn Sie möchten, siehe auch: https://physics.stackexchange.com/a/679431/281096 und https://physics.stackexchange.com/a/674311/281096 .

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