Freier Fall aus der Ruhe in ein Schwarzes Kerr-Loch

Aus diesem Papier$^1$wir haben die Gleichungen für ein Teilchen mit einer Gesamtenergie von Null auf einer einfallenden Flugbahn in der Äquatorebene:

$$\begin{align} \Sigma\frac{d\theta}{d\tau} &= 0 \\ \Sigma\frac{dr}{d\tau} &= -\sqrt{2Mr(r^2 + a^2)} \\ \Sigma\frac{dt}{d\tau} &= -a^2\sin^2\theta + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2} \\ \Sigma\frac{d\phi}{d\tau} &= -a \left( 1 - \frac{r^2 + a^2}{r^2-2Mr+a^2} \right) \\ \Sigma &= r^2 + a^2\cos^2\theta \\ a &= \frac{J}{M} \end{align}$$

Wenn Sie gerne davon ausgehen, dass die Eigenzeit endlich bleibt, dann fragen wir einfach if, um herauszufinden, ob die Koordinatenzeit irgendwo unendlich wird$dt/d\tau$wird überall unendlich. Wenn wir die Vereinfachung verwenden, dass die Flugbahn äquatorial ist ($\theta = \pi/2$) Dann$dt/d\tau$vereinfacht sich zu:

$$r^2\frac{dt}{d\tau} = -a^2 + \frac{(r^2 + a^2)^2}{r^2-2Mr+a^2}$$

und dies wird unendlich, wenn:

$$r^2-2Mr+a^2 = 0$$

die die beiden Lösungen hat:

$$r = M \pm \sqrt{M^2 - a^2}$$

oder in bekannter Form:

$$r = \frac{r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4a^2}}{2}$$

Aber die Ergosphäre ist bei$r = r_s$in der Äquatorebene, also$dt/d\tau$ist in der Ergosphäre nicht unendlich und dies impliziert, dass das einfallende Teilchen die Ergosphäre in endlicher Koordinatenzeit erreichen wird.

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$^1$An diesem Papier ist nichts Besonderes, es war nur das erste Papier, das ich bei einer Google-Suche gefunden habe.