Was ist die physikalische Interpretation einer beliebigen Normalmode für Massen und Federn?

Question

Was ist die physikalische Interpretation einer beliebigen Normalmode für Massen und Federn?

Wellen
Physik
Normal-Modi
klassische Mechanik
gekoppelte Oszillatoren

nerdig

Betrachten Sie folgendes System bestehend aus 3 Massen und 4 Federn:

drei Massen und vier Federn alle in Reihe

Ich habe gelernt, dass dieses System drei Normalmoden besitzt, die beispielsweise seinen drei natürlichen Frequenzen entsprechen $\omega_0$ , $\omega_1$ Und $\omega_2$ .

Mich interessiert die Bewegung der Massen, die jede der drei Normalmoden darstellt.
Ich weiß, dass ein normaler Modus der mittleren Masse entspricht $m_2$ fixiert und die anderen äußeren Massen $m_1$ Und $m_3$ sich mit der gleichen Frequenz in entgegengesetzte Richtungen bewegen ... Aber was ist mit den beiden anderen normalen Modi?
Für ein System aus 2 Massen und 3 Federn habe ich gelernt, dass der erste Normalmodus die Bewegung der beiden Massen mit der gleichen Frequenz und mit der gleichen Phase darstellt; während die zweite Normale die Bewegung der beiden Massen darstellt, mit einer anderen gemeinsamen Frequenz, aber mit einer Phasendifferenz von neunzig Grad (eine bewegt sich in die entgegengesetzte Richtung der anderen).

Aber was ist mit einem System aus 3 Massen und 4 Federn? Oder sagen Sie, $N$ Massen u $(N+1)$ Federn?

Ich habe viele mathematische Demonstrationen (mit Eigenvektoren und Eigenwerten) der Lösung dieses Systems gefunden, die die Bewegung der Massen darstellen, aber ich kann die physikalische Interpretation nicht sehen.

Neugierig

Die physikalische Interpretation ist, dass jede freie Bewegung dieses Systems als Überlagerung seiner Eigenmoden verstanden werden kann, die sich mit seinen Eigenfrequenzen bewegen (Vorsicht vor den Komplikationen im Falle von Entartungen).

tom

Antwort kommt, aber beachten Sie, dass die normalen Modi von den Werten der Massen und der Stärke der Federn abhängen - es wäre möglich, einige nützliche Vorhersagen zu treffen, wenn beispielsweise alle Massen gleich sind und alle Federn dasselbe k haben.

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Was ist die physikalische Interpretation einer beliebigen Normalmode für Massen und Federn?

Die physikalische Interpretation ist, dass jede freie Bewegung dieses Systems als Überlagerung seiner Eigenmoden verstanden werden kann, die sich mit seinen Eigenfrequenzen bewegen (Vorsicht vor den Komplikationen im Falle von Entartungen).
Antwort kommt, aber beachten Sie, dass die normalen Modi von den Werten der Massen und der Stärke der Federn abhängen - es wäre möglich, einige nützliche Vorhersagen zu treffen, wenn beispielsweise alle Massen gleich sind und alle Federn dasselbe k haben.

Ross Millikan · Answer 1

Wenn du es zulässt $x_i$ sei die Position der $m_i$ , können Sie einen Satz gekoppelter Gleichungen schreiben

(\begin{matrix} M_{1} \ddot{X_{1}} \\ M_{2} \ddot{X_{2}} \\ M_{3} \ddot{X_{3}} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{matrix})

$\begin {pmatrix} m_1\ddot{x_1}\\ m_2\ddot{x_2}\\ m_3\ddot{x_3} \end {pmatrix}=A\begin {pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end {pmatrix}$ Wo

A

$A$ gibt die Kräfte aus den Federn an. Mit mehr Massen und Federn haben Sie mehr Zeilen in der Gleichung. Wenn alle Massen gleich sind, können Sie sie unterteilen

A

$A$ . Sie finden die Frequenzen, indem Sie die Eigenwerte von finden

A

$A$ und die Moden durch Auffinden der entsprechenden Eigenvektoren. Grob gesagt sind die Modi wie die Modi einer Saite. Im niedrigsten Modus bewegen sich alle Massen in die gleiche Richtung, da dies die geringste Dehnung der Federn erzeugt. Der nächste Modus hat eine Richtungsänderung, so dass die linke Massenmenge entgegengesetzt zur rechten Massenmenge schwingt. Jeder höhere Modus hat einen weiteren Vorzeichenwechsel.

Mann, genau so habe ich mir das gedacht. Können Sie mir sagen, ob sich die Massen in all diesen normalen Modi mit einer gemeinsamen Frequenz (aber vielleicht unterschiedlichen Amplituden) bewegen werden?
Ja, die gemeinsame Frequenz ist der Ort, an dem das Eigenmaterial herkommt. Sie gehen davon aus, dass sich jede Masse mit einer gemeinsamen Frequenz, aber einer eigenen Amplitude und Phase bewegt. Dann $\ddot x_i= \omega^2 x_i$ , du erhältst $(A-\omega^2)\vec{x}=0$ und Sie wollen nichttriviale Lösungen.
Diese Antwort war fantastisch. Der einfache Vergleich mit der Saite macht die physikalische Interpretation der Normalmoden eines beliebigen gekoppelten Schwingungssystems kristallklar. Ich bin erstaunt, dass ich in der Literatur keine so hilfreichen Einblicke finden konnte. Vielen Dank.

tom · Answer 2

Ich hoffe, dies ist als Antwort auf Ihre Frage nützlich, denn obwohl es hier nicht um Ihr genaues System geht, gibt es eine hilfreiche Interpretation dessen, was normale Modi sind.

Für das Wassermolekül können wir es als drei Massen betrachten, die durch zwei identische Federn verbunden sind. Ähnlich wie bei Ihrem System gibt es drei normale Modi, die als die folgenden Bewegungen dargestellt werden können, die im Diagramm gezeigt werden (entnommen von http://www4.ncsu.edu/~franzen/public_html/CH795N/lecture/XIV/image964.gif )

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Es gibt also drei verschiedene normale Bewegungsmodi des Wassermoleküls, die als folgende Bewegungen des Wassermoleküls verstanden werden können.

Auf die gleiche Weise entsprechen Normalmoden, die Sie für Ihr System berechnen, unterschiedlichen kooperativen Bewegungen der drei Massen. Hoffe, das ist nützlich.

Ich schlage vor, dass Ihre Modi in etwa so aussehen wie die folgenden Modi. Beachten Sie, dass der Unterschied zwischen 2 und 3 darin besteht, dass in 3 alle Bewegungen „in Phase“ sind und sich in 2 die Moleküle an den Enden bewegen $\pi \over 2$ oder 90 $\deg$ phasenverschoben zueinander

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bitte beachten Sie, dass diese für Massen alle gleich und Federn alle gleich sind und selbst dann habe ich mich vielleicht geirrt.

Ja, aber können Sie mir sagen, welche Bewegungen ??? Ich weiß, dass ein normaler Modus der mittleren Masse entspricht $m_2$ während behoben werden $m_1$ Und $m_3$ in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Was ist mit den anderen beiden normalen Modi?
Sind Sie sicher, dass der zweite Modus nicht allen Massen entspricht, die sich in die gleiche Richtung bewegen, wie Ross Milikan vorgeschlagen hat?
@nerdy - kein Ross ist wahrscheinlich richtig - aber bei all diesen hängt die tatsächliche Bewegung von den Werten der Massen und der Federkonstanten ab.

Was ist die physikalische Interpretation einer beliebigen Normalmode für Massen und Federn?

nerdig

Neugierig

tom

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Ross Millikan

nerdig

Ross Millikan

nerdig

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tom

nerdig

tom

nerdig

tom

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