Gibt es nicht-orthogonale "normale" Moden für nicht identisch gekoppelte Oszillatoren?

Die Frage ist weit gefasst, ich werde ein Beispiel angeben, um zu erläutern, was ich frage.

Angenommen, ich habe zwei verschiedene LC-Schaltungen, die induktiv gekoppelt sind (oder kapazitiv, aber die Frage, die ich habe, wird für beide relevant sein, also betrachten wir der Einfachheit halber die induktive Kopplung) wie unten.

Nicht identisch gekoppelte LC-Kreise

Ausgehend von Kirchoffs Spannungs- und Stromgesetzen und unter Verwendung der konstitutiven Beziehungen kann man zu Bewegungsgleichungen gelangen, die ungefähr so ​​​​aussehen

A v → ¨ = B v →
Hier v → = ( v 1 v 5 ) T Wo v 1 ist die Spannung über C 1 Und v 5 ist die Spannung über C 5 . Man kann leicht überprüfen, dass diese Schaltung 2 Freiheitsgrade hat. Jetzt bin ich gegangen A , B ohne sie explizit anzugeben, weil die Frage allgemeiner ist als diese spezielle Gleichung. Jetzt versuche ich, die normalen Modi dieser Schaltung zu finden. Aber das fällt mir ein A , B sind garantiert von Rang 2 und diagonalisierbar, so dass wir die Eigenvektoren für dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem finden können und garantiert, dass sie eine Basis dafür bilden R 2 . So können wir die Bewegungsgleichungen in 2 unabhängige ODEs zweiter Ordnung entkoppeln.

Das Problem ist, dass normale Moden als orthogonal definiert sind, das heißt, die resultierenden Eigenvektoren sind orthogonal und daher ist es eine andere Entkopplung. Es erfordert ausdrücklich A , B symmetrisch sein, so dass die resultierenden Eigenvektoren eine orthogonale Basis bilden.

Überprüfen Sie diese Diskussion über die Transformation linearer Systeme zweiter Ordnung von ODEs derselben Form wie diese.

Dies führt mich zu der Annahme, dass die Eigenvektoren nicht orthogonal sind, wenn die Matrizen nicht symmetrisch sind, daher keine Normalmodi. Aber eine Entkopplung scheint möglich. Was ist diese Entkopplung und ist das wahr - nicht identisch gekoppelte Oszillatoren haben keine normalen Modi?

Eine Anmerkung ist, dass der Mangel an Symmetrie in den Oszillatoren es rechtfertigen könnte, symmetrische und antisymmetrische Normalmoden nicht auszunutzen (für ein einfaches Beispiel wie dieses), also vielleicht nicht allzu überraschend, aber ich hatte den Eindruck, dass alle gekoppelten Oszillatoren Normalmoden haben .

Jede Hilfe ist willkommen!

Antworten (1)

Die Mathematik in dem Link oder Beitrag ist nicht sehr klar. Bei sorgfältiger Ausführung wird das Rezept zum Finden der Modi intuitiv: Es ist eine Gleichung ( ∗ ) unter.

Beginnen Sie mit dem Schreiben A v → ¨ = B v → als

− A ω 2 v → 0 = B v → 0 ⇒ ( A ω 2 + B ) v → 0 = 0 ,

dank der üblichen Substitution v → ( T ) = v → 0 e − ich ω T .

Ruf jetzt an C ( ω ) = A ω 2 + B . Das obige System hat nur die triviale Lösung v → 0 = 0 Wenn C ( ω ) hat den maximalen Rang (in diesem Fall 2). Um nicht-triviale Schwingungslösungen zu haben, müssen Sie dies daher fordern ω einen besonderen Wert annimmt, so dass eine Lösung mit einer Amplitude ungleich Null entsteht v → 0 bestehen kann. Dies setzt voraus, dass die Determinante von C ( ω ) ist Null.

Zusammenfassend können Sie die Frequenzen der Eigenmoden des Systems finden, indem Sie die Gleichung lösen

D e T [ C ( ω ) ] = 0 ( ∗ )

das ist eine Polynomgleichung in ω . Die Lösungen sind die Frequenzen des Modus: Für Ihren 2D-Fall finden Sie zwei (komplexe) Lösungen. Der Realteil gibt wie üblich die Frequenz der Schwingung an, der Imaginärteil wie schnell die Mode abfällt oder anwächst (je nach Vorzeichen).

Das mache ich, und wenn Sie auf den oben zitierten Link klicken - ich erkläre es dort weiter -, dass Sie "Modi" erhalten, aber eindeutig keine "normalen Modi", da diese orthogonal sein müssen. Was Sie also beschrieben haben, ist das, was ich getan habe, und gilt allgemein, solange die von Ihnen erwähnte Matrix einen Rang hat 2 UND zusätzlich muss sie diagonalisierbar sein, sonst bilden die Eigenvektoren der Matrix keine Basis für R 2 .
@ LostInEuclids5thPostulate, sorry, aber was Ihrer Meinung nach aus Ihrer Darstellung hervorgeht, war mir nicht klar (dasselbe gilt für den Link). Ich sehe weder das Wort "Bestimmungsfaktor" noch eine klare Erklärung dafür, was Sie bereits tun.
ja, vergib mir, vielleicht hätte ich die Determinante und den verallgemeinerten Eigenwert explizit angeben sollen. Aber eigentlich hat Ihr Kommentar einen interessanten Teil angesprochen, der mir geholfen hat, eine Verwirrung zu lösen. Ich werde eine ausführliche Antwort auf meine eigene Frage schreiben, wenn ich kann. Danke für deinen Beitrag.
Gibt es nicht-orthogonale "normale" Moden für nicht identisch gekoppelte Oszillatoren?
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