Beziehung zwischen Nullmoden und Symmetrie in einem einfachen System gekoppelter Federn

Diese Wikipedia-Seite besagt, dass "Nullmoden immer dann auftreten, wenn ein physikalisches System eine bestimmte Symmetrie besitzt", und gibt das Beispiel eines durch Federn verbundenen Perlenrings mit einem Nullmodus, der mit der starren Drehung des gesamten Systems verbunden ist. Man kann sich auch leicht andere Beispiele ausdenken: Die meisten Systeme von Perlen, die durch Federn verbunden sind, haben zum Beispiel Nullmoden, die sich aus der Verschiebung des gesamten Systems ergeben (dh Translationssymmetrie).

Stellen Sie sich ein System aus vier Perlen vor, die durch Federn in einem Quadrat im Gleichgewicht verbunden sind. Dieses System hat 8 Freiheitsgrade, also 8 Modi. Die vier Nicht-Null-Modi stammen entweder von den vertikalen oder beiden horizontalen Federn, die entweder synchron oder um 180 Grad asynchron oszillieren. Zwei der Nullmoden stammen aus der Translation des gesamten Systems, und die entsprechende Symmetrie ist offensichtlich. Einer der Nullmodi entsteht durch die Rotation des gesamten Systems, und auch hier ist die entsprechende Symmetrie offensichtlich.

Der endgültige Nullmodus kommt jedoch daher, dass zwei der gegenüberliegenden Ecken zusammengebracht werden, während die anderen gegenüberliegenden zwei Ecken auseinander gedrückt werden (dh das Quadrat in eine Raute gequetscht wird). Meine Frage lautet also: Welcher Symmetrie des Systems entspricht diese Verformung?

Was meinst du mit "Nullmodus"? Meinst du eine Mode mit Null-Eigenfrequenz? dh Starrkörperbewegung?
Ich meine einen Normalmodus des Systems mit verschwindendem Eigenwert.
Ist das also dasselbe wie ein normaler Modus mit Nullfrequenz oder nicht?
Die Eigenwerte des Hessischen == die normalen Frequenzen, also ja, es ist dasselbe.
Obwohl diese Frage nicht zum Thema gehört, werfen Sie einen Blick in ein anderes verwandtes Thema hier: Wie berechnet man die Anzahl der Modi und Schwingungsmodi einer Gruppe von 7 identischen Massen auf einem Ring, der über Federn verbunden ist? .

Antworten (2)

Die Antwort von Evan Rule verwirrt mich, weil ich Reflexion nur als diskrete Symmetrie betrachte. Wir brauchen eine kontinuierliche Symmetrie, um das Noether/Nambu-Goldstone-Argument hervorzurufen. Ich werde versuchen, es ein bisschen besser zu machen. Zunächst einmal ist die zusätzliche Symmetrie genau die Transformation, die den Modus erzeugt. Zweitens sollte die Symmetrie auf jede Konfiguration wirken und eine neue Konfiguration erzeugen, die die gleiche Energie hat.

Ich werde die infinitesimale Transformation beschreiben, deren Parameter ein infinitesimaler Winkel ist δ θ . Ordnen wir die Eckpunkte des Vierecks 0,1,2,3 (von denen nicht angenommen wird, dass sie sich in Gleichgewichtsposition befinden). Wir betrachten den Winkel 0,1,2 θ . Es gibt (fast, siehe unten) immer eine einzigartige Transformation, die dauert θ ↦ θ + δ θ und behält alle Längen bei, bewahrt daher die Energie, gibt uns aber eine neue Konfiguration, die nicht durch starre Bewegungen mit der alten in Beziehung steht, weil der 0,1,2-Winkel jetzt anders ist.

Die Existenz und Einzigartigkeit dieser Transformation hat mit einer interessanten geometrischen Tatsache zu tun, die generisch ist N -Eck mit festen Kantenlängen aber frei schwenkbaren Winkeln hat genau N − 3 Freiheitsgrade plus starre Bewegungen. Nur Dreiecke sind strukturell starr, und deshalb verwenden wir sie, um Dinge zu bauen.

Übrigens ist das allgemeine Studium dieser "Bastelspielzeuge" ziemlich interessant, und W. Thurston hielt einen berühmten Vortrag, in dem er bewies, dass jede differenzierbare Mannigfaltigkeit als Komponente des Modulraums solcher Dinge erscheint. Hör zu.

Überraschend ist eigentlich schon der Modulraum der Raute. Siehe ab Seite 5 hier . Man könnte meinen, wenn wir den 0,1,2-Winkel weiter ändern, erhalten wir einen ganzen Kreis von Konfigurationsraum. Das stimmt, aber es gibt bestimmte Besonderheiten, die neu sindFreiheitsgrade erscheinen. Zum Beispiel gibt es nach dem Abflachen einer Raute, so dass der Winkel 0,1,2 Null ist, eine neue längenerhaltende Bewegung, die den Winkel 1,2,3 ändert, während der Winkel 0,1,2 Null bleibt. Der gesamte Konfigurationsraum ist eine Kette aus drei sich küssenden Kreisen mal einer Gruppe starrer Bewegungen. Ein Kreis ist der positive Bereichszweig des Gleichgewichtsmodulraums und zwei Kreise sind Nullzweige. Auf diesen beiden seltsamen Ästen erzeugt eine Drehung im 1,2,3- oder 2,3,0-Winkel den Extra-Null-Modus. Die Gesamtzahl der Nullmoden ist immer gleich, außer an den drei singulären Punkten im Gleichgewichtsmodulraum, aber hier kann man keine linearen Kombinationen der neuen Nullmoden nehmen. In gewisser Weise bleibt also die Gesamtdimension der Nullmoden gleich, obwohl ihre Anzahl dies nicht tut.

Der Endmodus entspricht der Reflexionssymmetrie des Systems. Mit der von Ihnen beschriebenen kontinuierlichen Verformung können Sie zwei der Ecken vollständig einklemmen und umkehren, was einer Spiegelung gleichkommt und einer kontinuierlichen Drehung des Systems nicht entspricht.

Wenn dies zutrifft, wie kommt es dann, dass ein gleichseitiges Dreieckfedersystem keinen Nullmodus hat, der seiner eigenen Reflexionssymmetrie entspricht?
Um das Dreieck kontinuierlich zu spiegeln, müsste man mindestens eine seiner Federn spannen und es ist kein Nullmodus mehr. Das Quadrat kann diese Umkehrung ohne Dehnung ausführen.
Behaupten Sie also, dass die Behauptung von Wiki, dass "Nullmoden auftreten, wenn ein physikalisches System eine bestimmte Symmetrie besitzt", falsch ist?
Bedenken Sie auch, dass, wenn das System ein Rechteck wäre (dh Sie haben die Gleichgewichtslänge von 2 der Federn erhöht), es immer noch diesen Nullmodus hätte, während es seine Reflexionssymmetrie verliert (es sei denn, ich verstehe falsch, wie Sie Reflexionssymmetrie definieren ).
Die Symmetrie muss stetig sein und die Lagrange-Invariante beibehalten. Die Existenz von Nullmoden, die sich aus Symmetrie ergeben, ist eine Folge des Satzes von Noether, der nur für kontinuierliche Symmetrien gilt. Obwohl das Dreieck eine diskrete Reflexionssymmetrie hat, kann diese nicht auf eine Weise zu einer kontinuierlichen Symmetrie befördert werden, die die Lagrange-Funktion bewahrt. Das Rechteck hat diesen Modus und eine kontinuierliche Reflexionssymmetrie; das heißt, es existiert eine kontinuierliche Symmetrie des Rechtecks, die die Lagrange-Invariante belässt und die Orientierung des Rechtecks ​​umkehrt.
Dies funktioniert jedoch nicht für Trapeze. Sie können die Scheitelpunkte nicht durch den Nullmodus wechseln.
Beziehung zwischen Nullmoden und Symmetrie in einem einfachen System gekoppelter Federn
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