Warum sind alle Lösungen dieses Systems von Pendeldifferentialgleichungen eine Linearkombination der beiden gegebenen Lösungen?

Erinnern Sie sich an die lineare Algebra, die einen Operator gegeben hat$A$auf Vektoren wirken$\vec{v}$von$\mathbb{R}^n$, Die gleichung

$$A\vec{v}=0$$ definiert den Kernel oder Nullraum des Operators$A$. Dies ist der Unterraum aller Vektoren, die durch einen solchen Operator auf 0 abgebildet werden und dessen Dimension entsprechen$n-\textrm{Rank}(A)$. Dies ist der Fall für endlich dimensionale Räume, wird aber auf Vektorräume von Funktionen verallgemeinert, und es gelten fast dieselben Dinge.

Hier haben Sie also einen Differentialoperator

$$A = \begin{pmatrix} \frac{d}{dt^2} + \omega_0^2 + k^2 & k \\ k & \frac{d}{dt^2} + \omega_0^2 + k^2 \end{pmatrix}$$ die auf einen Raum von Funktionen einwirkt$V$(Ich gehe nicht im Detail darauf ein, welcher Raum das ist, sondern gehe von "schönen" Funktionen aus). Wie Sie sehen können, wirkt der Operator tatsächlich auf das direkte Produkt zweier solcher Räume,$V^2=V\times V$, das heißt, es wirkt auf zwei Kopien eines Funktionsraums, also sehen Vektoren so aus$\vec{v} = (f_1(t),f_2(t))$und wir lösen für $$\begin{equation}A\vec{v}=0 \tag{1} \label{eq:nullspace} \end{equation}$$ wie vorher. Unter der gleichen Philosophie wie bei der üblichen linearen Algebra kann höchstens passieren, dass der Operator alles auf Null schickt, in diesem Fall hat der Nullraum eine Dimension$2n$Wo$n$wäre jetzt die Dimension von$V$und könnte unendlich sein. Aus der Differentialgleichungstheorie wissen wir jedoch, dass ODEs zweiter Ordnung mit zwei Randbedingungen versorgt werden müssen, und genau dies hängt mit der Freiheit der "Richtungen" zusammen, die Sie in diesem Nullraum haben. Wenn Sie also die Lösungen als Richtungen in einem Vektorraum betrachten, sagt Ihnen dies, dass es höchstens zwei Richtungen gibt, in die Sie sich „bewegen“ oder die Bedingungen ändern können, während Sie immer noch zufrieden sind$\eqref{eq:nullspace}$. Dies würde für jede Kopie separat passieren, wenn es keine Terme außerhalb der Diagonale gäbe, aber da sie hier nicht Null sind, koppeln sie die Gleichungen und erzwingen so eine bestimmte Beziehung zwischen den Komponenten, die durch die Eigenwerte gegeben ist. Am Ende des Tages ist es wichtig zu erkennen, dass alles auf die Dimension eines Nullraums eines Operators in einem Raum von Funktionen hinausläuft und dies durch die Reihenfolge der beteiligten ODEs und die Größe des Systems begrenzt ist.