Warum gilt das Superpositionsprinzip in EM? Gilt das allgemeiner?

Das Prinzip der Überlagerung beruht auf der Tatsache, dass Gleichungen, die Sie die meiste Zeit lösen, aus linearen Operatoren bestehen (genau wie die Ableitung). Solange Sie also diese Operatoren verwenden, können Sie so etwas wie schreiben

$$\mathcal L\cdot \psi = 0$$

wo$\mathcal L$ist ein linearer Operator und, sagen wir,$\psi$ist eine Funktion, die von Koordinaten abhängt, die$\mathcal L$wirkt auf. Das Superpositionsprinzip ist das gleiche wie das zu sagen

$$\mathcal L \cdot \left(\sum_i \psi_i \right) = \mathcal L\cdot\psi_1 + \mathcal L\cdot\psi_2 + ... = 0$$

hält. Ein Beispiel, wenn dies nicht der Fall ist, wäre zum Beispiel ...

$$\mathcal L^2 \cdot\left(\sum_i \psi_i\right) \neq \mathcal L^2\cdot\psi_1 + \mathcal L^2\cdot\psi_2 + ...$$

im Allgemeinen (für den Laplace im euklidischen Raum ist es gleich). Die Frage ist also, ob Maxwell-Gleichungen linear sind. Und das sind sie, weil sie aus dieser Art von Operatoren bestehen. Beispielsweise kann das Gaußsche Gesetz für zwei verschiedene elektrische Felder als eins geschrieben werden

$$\nabla \cdot \vec{E}_1 = \rho_1/\varepsilon \quad; \quad \nabla \cdot \vec{E}_2 = \rho_2/\varepsilon$$

$$\nabla \cdot \overbrace{\left(\vec{E}_1 + \vec{E}_2\right)}^{\vec{E}} = \frac{\overbrace{\rho_1 + \rho_2}^{\rho_T}}{\varepsilon} \Rightarrow \boxed{\nabla \cdot\vec E = \frac{\rho_T}{\varepsilon}}$$

nur weil$\nabla$ist ein linearer Operator.

Im Bereich der Maxwell-Gleichungen ist das Prinzip der Überlagerung genau richtig, da die Maxwell-Gleichungen sowohl in den Quellen als auch in den Feldern linear sind. Wenn Sie also zwei Lösungen für die Maxwell-Gleichungen für zwei verschiedene Quellensätze haben, dann ist die Summe dieser beiden Lösungen eine Lösung für den Fall, in dem Sie die beiden Quellensätze addieren.

Dies wird nur zusammenbrechen, wenn die Maxwell-Gleichungen zusammenbrechen, zum Beispiel wenn die Feldstärken so hoch sind, dass die Paarbildung signifikant wird. In diesem Fall wäre die Quantenfeldtheorie der Quantenelektrodynamik (QED) erforderlich. Nun, Quantentheorien sind auch linear, zumindest was die Quantenwellenfunktion betrifft, aber die Wahrscheinlichkeiten, die Quantentheorien vorhersagen, hängen von der Größe der Wellenfunktion ab, also sind sie in diesem Sinne nichtlinear, und daher wird keine Überlagerung angewendet zu den Ergebnissen.

Dies gilt bis zu sehr hohen Feldstärken. Bei zu hohen Stärken ist das Feld selbst nicht stabil, es können echte Paare entstehen. Es ist wie eine Begrenzung der Feldstärke in einem Kondensator. Das Kondensatordielektrikum kann brechen.

BEARBEITEN: Klassische Maxwell-Gleichungen sind in der Tat linear, daher wird das Prinzip der Überlagerung in sie implementiert. Aber auch der Bruch eines Dielektrikums kann je nach Feldstärke als Widerstand eingebracht werden. Somit kann man die Maxwell-Gleichung ab einer bestimmten Schwellenstärke nichtlinear machen.

Tatsächlich tritt die Unterbrechung des Dielektrikums oder die Kondensatorentladung aufgrund kalter Elektronenemission (klassische Nichtlinearität) "lange bevor" ein Elektron-Positron-Paar im Vakuum erzeugt.

Während der erste Teil der Frage zufriedenstellend beantwortet ist, scheint jedermann die unbedingte Linearität der Maxwell-Gleichungen mit der oft beobachteten Linearität der konstitutiven Beziehungen für das materielle Gesetz zu verwechseln. Das Gebiet der nichtlinearen Optik beschäftigt sich mit dem Verhalten von Licht in nichtlinearen Medien, in denen die Stoffgesetze nicht mehr linear sind.

Allerdings wird das Überlagerungsprinzip bereits verletzt, wenn auch nur ein einzelnes Elektron durch das Feld beschleunigt wird. Nichtlineare Medien sind also nichts Exotisches, auch wenn die meisten Medien durch lineare Stoffgesetze für kleine Feldstärken gut beschrieben sind.

Das Superpositionsprinzip ist ein Störenfried. Das Problem ergibt sich auch aus der Definition des Feldes. Zu Beginn wird das elektrische Feld mit einer Testladung definiert. Wenn die Testgebühr vorhanden ist, können wir sie addieren, wenn es zwei Felder gibt. Wir sagten, das ist das Superpositionsprinzip. Bis zu diesem Punkt ist alles in Ordnung.

Aber das Problem ist, dass wir das Konzept später erweitert haben. Wir behaupten, dass selbst die Testladung nicht hier ist, das Feld noch existiert und genauso ist, als ob die Testladung vorhanden wäre. Wer weiß, ob die Testladung entfernt wird, das elektrische Feld vorhanden ist oder nicht? Es gibt zwei Arten von Theorien, die sie 100 Jahre lang für dieses Problem diskutiert haben. Einer ist Faraday und Maxwell, sie behaupten, dass das Feld immer noch da ist, selbst wenn die Testladung entfernt wird, Feld ist echte Substanz. Eine andere Seite ist die Theorie der Fernwirkung, die elektromagnetische Theorie von Weber, das Wirkprinzip von Schwarzschild-Tetrode-Fokker, die Absorbertheorie von Wheeler und Feynman, diese Theorien behaupten, dass das Feld nicht real ist, es gibt nur die Wirkung dazwischen mindestens zwei Ladungen!

Letzteres hat kein Problem der Maxwell-Gleichung und Überlagerung. Aber die Theorie der Fernwirkung ist zu erschweren, die Feldtheorie der Maxwell-Gleichung zu vergleichen. Fernwirkung kann den Krieg mit Maxwells Theorie nicht gewinnen. Allerdings stimmen sie zumindest für die Überlagerung, nur wenn Testladung vorhanden ist, kann man die beiden Felder überlagern. Ohne Testgebühr ist das Feld nicht definiert, wie können Sie zwei Felder überlagern?

Feynman bemerkt dieses Problem, aber er hat keinen Weg gefunden, die Maxwell-Theorie zu korrigieren. Stattdessen beschloss er, die Maxwell-Theorie einfach aufzugeben. Er hat QED geschaffen. In QED wird das Problem teilweise durch Normalisierung, zweite zweite Quantisierung gelöst. Aber das Problem ist von ihm immer noch nicht gründlich gelöst.

Diese Schwierigkeit wird nun durch das „Gegenseitige Energieprinzip“ und das „Eigenenergieprinzip“ überwunden. Ein gegenseitiger Energiefluss wird durch die verzögerte Welle und die fortgeschrittene Welle erzeugt. Das Prinzip der gegenseitigen Energie sagt uns, dass die Photonenenergie nur durch den gegenseitigen Energiefluss übertragen wird. Das Selbstenergieprinzip sagt uns, dass der Selbstenergiefluss keine Energie überträgt.

Interessant ist, dass die neue Theorie zur Maxwellschen Feldtheorie gehört. Das gegenseitige Energieprinzip und das Selbstenergieprinzip behaupten, dass das Feld immer noch eine reale Substanz ist. Die neue Theorie hat alle Vorteile der Fernwirkungs- und der Absorbertheorie absorbiert und dann die Maxwellsche Feldtheorie aktualisiert.

Jedenfalls wird in der neuen Theorie des gegenseitigen Energieprinzips und des Selbstenergieprinzips das Vermutungsprinzip vermieden. Die Maxwell-Gleichung benötigt das Überlagerungsprinzip, ohne Überlagerung ist sogar die Maxwell-Gleichung für eine einzelne Ladung korrekt, sie kann immer noch nicht beweisen, dass sie für N Ladungen korrekt ist. Das Prinzip der gegenseitigen Energie braucht das Superpositionsprinzip nicht. Alle Teilchen, zum Beispiel Photon und Elektron, bestehen aus 4 Wellen und 6 Energieflüssen statt einer Welle aus einem Energiefluss.

Einzelheiten entnehmen Sie bitte meiner Veröffentlichung: http://www.openscienceonline.com/journal/archive2?journalId=726&paperId=4042