Lineare und nichtlineare Systeme

Wenn mir also jemand helfen kann, die Essenz linearer Systeme zu verstehen und zwischen einem nichtlinearen zu unterscheiden

Stellen Sie sich ein einfaches System als Black Box mit einem Input (Stimulus) vor.$x(t)$und eine Ausgabe (Antwort)$y(t)$.

Lassen$y_1(t)$sei die Ausgabe bei einer Eingabe$x_1(t)$Und$y_2(t)$sei die Ausgabe bei einer Eingabe$x_2(t)$.

Die Frage ist nun, was die Ausgabe ist$y_3(t)$angesichts der Eingabe

$$x_3(t) = a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$$

Eine Möglichkeit ist, dass die Ausgabe ist

$$y_3(t) = a_1y_1(t) + a_2y_2(t)$$

und dann ist dieses System ein lineares System (dies definiert mehr oder weniger ein lineares System). Wenn dies nicht gilt, dann ist das System kein lineares System.

Lassen Sie uns einige Beispiele erarbeiten, um Ihnen zu helfen, die Essenz davon zu verstehen. Lassen Sie zuerst$y(t) = Ax(t)$und dann

$$y_1(t) = Ax_1(t)$$

$$y_2(t) = Ax_2(t)$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)$$

$$y_3(t) = Ax_3(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)$$

und somit ist dies ein lineares System. Aber, etwas überraschend,$y(t) = Ax(t) + B$ist kein lineares System:

$$y_1(t) = Ax_1(t) + B$$

$$y_2(t) = Ax_2(t) + B$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right) + (a_1 + a_2)B$$

$$y_3(t) = Ax_3(t) + B = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right) + B$$

Kein Wunder, das System$y(t) = x^2(t)$ist kein lineares System:

$$y_1(t) = x^2_1(t)$$

$$y_2(t) = x^2_2(t)$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = a_1x^2_1(t) + a_2x^2_2(t)$$

$$y_3(t) = x^2_3(t) = \left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)^2 = a^2_1x^2_1(t) + a^2_2x^2_2(t) + 2a_1a_2x_1(t)x_2(t)$$

Schauen wir uns schließlich an$y(t) = \frac{dx}{dt}$:

$$y_1(t) = \frac{dx_1}{dt}$$

$$y_2(t) = \frac{dx_2}{dt}$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = a_1\frac{dx_1}{dt} + a_2\frac{dx_2}{dt}$$

$$y_3(t) = \frac{dx_3}{dt} = a_1\frac{dx_1}{dt} + a_2\frac{dx_2}{dt}$$

ein Differentiator ist also ein lineares System.

Diese Beispiele sollten Ihnen helfen, sich ein klares „Bild“ davon zu machen, was das Label Linear System beinhaltet.

Das mag etwas kreisförmig klingen, aber die Essenz davon ist dies:

ein lineares System ist eines, das dem Superpositionssystem gehorcht,

per Definition des ersteren. Das bedeutet, dass das Superpositionsprinzip in allen linearen Systemen gilt, aber es bedeutet auch, dass dies eine relativ triviale Eigenschaft ist, und es verlagert den Großteil der Arbeit darauf, zu bestimmen, ob ein gegebenes System linear ist oder nicht.

Genauer gesagt hat dies nichts mit der Ordnung des Differentialoperators zu tun$\mathcal L$das die Bewegungsgleichungen des Systems aufführt, aber nur mit seiner Linearität: dh das fordern wir

$$\mathcal L (x+y) = \mathcal L(x) + \mathcal L(y)$$ für alle Paare möglicher Lösungen $x,y$. Dies schließt bestimmte Systeme (wie z $\mathcal L(x) = \ddot x(t) +x(t)^3$, für die die obige Beziehung nicht gilt), und in der Überprüfung dieser Linearität fällt der Großteil der Arbeit an.