Linearität der Quantenmechanik und Nichtlinearität der makroskopischen Physik

Es gibt ein allzu weit verbreitetes Missverständnis, dass, weil die Schrödinger-Gleichung linear ist, nichtlineare Phänomene (wie Chaos) nur klassisch sind. Die Wellenfunktion gehorcht zwar einer linearen Gleichung, der Schrödinger-Gleichung, steht aber nicht in direktem Zusammenhang mit der beobachtbaren Physik. Beobachtbare Größen, wie Erwartungswerte von Operatoren, gehorchen nichtlinearen Gleichungen. Tatsächlich sind es oft die gleichen Gleichungen wie ihre klassischen Gegenstücke, mit kleinen Korrekturen.

Angenommen, Sie meinen "linear" im mathematischen Sinne von "die Summe zweier Lösungen der relevanten Gleichung ist auch eine Lösung", gibt es keinen besonderen Grund, warum makroskopische Objekte von Natur aus nichtlinear sind. Tatsächlich gibt es in der Gemeinschaft der Quantengrundlagen eine große Menge an Arbeiten darüber, wie sich makroskopische Objekte linear verhalten, aber nichtlinear aussehen . Das ist der springende Punkt bei Dingen wie der Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik und der Erforschung der Dekohärenz von Leuten wie W. Zurek. Es mag eine Skala geben, über der es unpraktisch ist, Überlagerungszustände zu sehen , aber das bedeutet nicht, dass sie nicht existieren können.

Wenn du das nicht meinst, dann weiß ich nicht, was ich dir antworten soll.

Die mittlere Felddynamik, die die effektive Entwicklung eines Teilchens in einem System mit einer sehr großen Anzahl von Teilchen beschreibt, ist nichtlinear, selbst wenn die Quantendynamik linear ist. Die Konvergenz zur mittleren Felddynamik wurde für Quantensysteme aus vielen Teilchen (und sogar Quantenfeldern) rigoros bewiesen und ist heutzutage ein gründlich untersuchtes Thema in der mathematischen Physik. In diesem Sinne gibt es solide Grundlagen für den Zusammenhang zwischen der linearen Quantendynamik und der nichtlinearen effektiven Evolution makroskopischer Systeme.

Die Idee ist, dass zeitlich entwickelte Matrizen mit reduzierter Dichte des Quantensystems an der Grenze konvergieren$N\to\infty$, zum Projektor auf die Lösung nichtlinearer Mean-Field-Gleichungen (zumindest für einige spezielle Quantenzustände, zB kohärente Zustände, bei allgemeinen Zuständen wird das Bild komplizierter, aber die nichtlineare Dynamik bestimmt die Entwicklung im Grenzbereich).

Linear in der Quantenmechanik hat nichts mit ihrer Komplexität zu tun. Ein Spin mit zwei Zuständen kann durch eine einfache 2-mal-2-Matrix beschrieben werden; 30 wechselwirkende Spins müssen jedoch im Allgemeinen durch eine 1-Milliarde-mal-1-Milliarde-Matrix beschrieben werden. Sie wächst exponentiell mit zunehmender Anzahl der Spins, z$10^{23}$drehen, benötigen Sie möglicherweise eine Größenmatrix$2^{10^{23}}$. Es ist nicht leicht zu verstehen und im wahrsten Sinne des Wortes nicht einfach. Wenn Sie etwas statistische Mechanik lernen, werden Sie wissen, dass diese Zahl groß genug ist, um ein neu auftretendes Phänomen zu haben.

Es gibt einen anderen "Linearitätsbereich";$\ddot{x}=-x$ist eine lineare Gleichung mit zeitlich nichtlinearen Lösungen.