Linearität der Quantenmechanik?

Das No-Cloning-Theorem besagt, dass es nicht möglich ist, einen Quantenzustand zu haben$|\psi\rangle$entwickeln sich zu zwei trennbaren (nicht verschränkten) Kopien, die durch den Tensorproduktzustand beschrieben werden$|\psi\rangle|\psi\rangle$.

Der Beweis läuft auf die einfache Beobachtung hinaus, dass beim Ausdrücken$|\psi\rangle$in gewisser Weise${|0\rangle, |1\rangle, |2\rangle, ...}$:

$$|\psi\rangle = \alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + \alpha_2 |2\rangle + ...$$

Die Klonoperation wäre eine einheitliche Weiterentwicklung der Form:

$$U(\alpha_0 |0\rangle + \alpha_1 |1\rangle + ... ) = \alpha_0^2 |0\rangle|0\rangle + \alpha_0 \alpha_1 |0\rangle|1\rangle + \alpha_1 \alpha_0 |1\rangle|0\rangle + \alpha_1^2 |1\rangle|1\rangle...$$

Dies führt zu einem Widerspruch, da der unitäre Operator$U(..)$ist linear und kann nie wie Amplituden erzeugen$\alpha_0^2$Und$\alpha_0\alpha_1$das sind quadratische Funktionen der$\alpha_i$.

Die Linearität, auf die sich der Autor bezieht, ist also die Linearität der einheitlichen Evolution. In der Quantenphysik wird die Evolution durch einheitliche Operatoren beschrieben, die eingehende Zustände in ausgehende Zustände umwandeln, die eine Linearkombination der eingehenden Zustände sind.

„Durch die Linearität der Quantenmechanik“ ist eigentlich ein Hinweis auf die Linearität der in ihr verwendeten Operatoren der Quantenmechanik. Das bedeutet für einen linearen Operator$A$(durch die Definition von Linearität),

$$A\bigl(\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr)=\alpha A\lvert\Psi\rangle + \beta A\lvert\Phi\rangle,$$ Wo $\alpha$Und $\beta$sind komplexe Zahlen.

Die Art und Weise, wie dies auf das No-Cloning-Theorem zutrifft, ist ziemlich einfach. Ein Klonoperator müsste folgendes erfüllen: Es gibt einen Vektor$\lvert \Xi \rangle$so dass, für alle$\lvert \Psi \rangle$, wir haben

$$A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle= \lvert \Psi\rangle \lvert\Psi\rangle.$$

Jedoch,$\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle$ist ebenso ein gültiger Zustand wie$\Psi$. In Kombination mit der obigen Gleichung für lineare Operatoren (was wie "aufgrund der Linearität der Quantenmechanik" zu sagen ist ) impliziert dies dies

$$A (\alpha\lvert\Psi\rangle +\beta\lvert\Phi\rangle\bigr) \lvert\Xi\rangle= \alpha A\lvert\Psi\rangle \lvert\Xi\rangle +\beta A\lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Xi\rangle =\alpha \lvert\Psi\rangle \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle\bigr \lvert\Phi\rangle.$$ Was wir aber nicht wollten, da eine tatsächliche Kopie des Ausgangszustandes gewesen wäre $(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)(\alpha \lvert\Psi\rangle +\beta \lvert\Phi\rangle)$.