Sollen die Eigenkets in |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle gewichtet werden?

Question

Sollen die Eigenkets in |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle gewichtet werden?

Liebhaber der Physik

Auf Seite 37 von Diracs Buch The Principles of Quantum Mechanics heißt es

Die Bedingung für die Eigenzustände von $\xi$ um einen vollständigen Satz zu bilden muss also formuliert werden, dass irgendein ket $|P\rangle$ kann als Integral plus eine Summe von Eigenkets von ausgedrückt werden $\xi$ , dh

$| P ⟩ = \int | ξ^{'} C ⟩ D ξ^{'} + \sum_{R} | ξ^{R} D ⟩$ $|P\rangle = \int |\xi'c\rangle\; d\xi' + \sum\limits_{r}|\xi^rd\rangle$

bei dem die $|\xi'c\rangle$ , $|\xi^rd\rangle$ sind alle Eigenkets von $\xi$ , wobei die Labels c und d eingefügt werden, um sie zu unterscheiden, wenn die Eigenwerte $\xi'$ Und $\xi^r$ gleich sind, und wo das Integral über den gesamten Bereich von Eigenwerten genommen wird und die Summe über jede Auswahl von ihnen genommen wird.

Ich finde es widersprüchlich, dass die Eigenkets unter dem Integral mit einem anscheinend differentiellen Eigenwert gewichtet werden $d\xi'$ , dennoch werden alle Eigenkets unter der Summation mit dem Wert 1 gewichtet. Ist das richtig?

Antworten (2)

Sollen die Eigenkets in |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle gewichtet werden?

omyojj · Answer 1

omyojj

Wenn Eigenkets bis auf beliebige Konstanten definiert sind, ist es möglich, die Summe ohne Koeffizienten zu schreiben.

Liebhaber der Physik

jeder Ket-Vektor als Summe eines Satzes von einheitsgewichteten Eigenvektoren ausgedrückt werden kann? Ich kann das kaum glauben.

Brandon Enright

omyojj, kannst du das näher erläutern?

Emilio Pisanty

@Physikslover beachten Sie, dass die Gewichte dann im Wesentlichen in die Eigenkets aufgenommen werden, die nicht mehr normalisiert sind.

Urgje · Answer 2

Durch die Auflösung der Identität für einen selbstadjungierten Operator kann die Situation genauer beschrieben werden. Also lassen $X=X^{\ast }$ (Diracs $% \xi$ ) ein selbstadjungierter Operator sein, der in einem separierbaren Hilbertraum agiert $% \mathcal{H}$ mit leerem singulären kontinuierlichen Spektrum. Dann

X = \int_{Λ} λ E (D λ),

$\begin{equation*} X=\int_{\Lambda }\lambda E(d\lambda ), \end{equation*}$ Wo

{E (. .)}

$\{E(..)\}$ ist die Auflösung der Identität für

X

$X$ Und

Λ \subset R

$\Lambda \subset \mathbb{R}$ sein Spektrum. Insbesondere

E (R) = I

$E(\mathbb{R})=I$ , der Identitätsoperator. Wir können in diskrete und kontinuierliche Spektren zerlegen

X = \sum_{N} \sum_{M} λ_{N} | φ_{N M} >< φ_{N M} | + \int λ E_{C Ö N T} (D λ),

$\begin{equation*} X=\sum_{n}\sum_{m}\lambda _{n}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|+\int \lambda E_{cont}(d\lambda ), \end{equation*}$ bei dem die

φ_{n m}

$\varphi _{nm}$ sind die orthonormalen diskreten Eigenzustände. Der Subindex

m

$m$ bezeichnet die mögliche Entartung der diskreten Zustände (denken Sie an den Drehimpuls in einem Problem mit einem sphärischen Potential wie dem Coulomb-Potential). Dem kontinuierlichen Spektrum können keine quadratintegrierbaren Eigenzustände zugeordnet werden, aber in vielen Fällen existiert eine Eigenfunktionsentwicklung

E_{C Ö N T} (D λ) = | ψ_{l S} >< ψ_{l S} | D λ .

$\begin{equation*} E_{cont}(d\lambda )=|\psi _{ls}><\psi _{ls}|d\lambda . \end{equation*}$ Denken Sie an die Eigenfunktionen der ebenen Welle des Impulsoperators

P = \int D k k | ψ_{k} >< ψ_{k} |, ψ_{k} (X) =< X | ψ_{k} >= (2 π)^{- 1 / 2} \exp [ich k X],

$\begin{equation*} p=\int dkk|\psi _{k}><\psi _{k}|,\;\psi _{k}(x)=<x|\psi _{k}>=(2\pi )^{-1/2}\exp [ikx], \end{equation*}$ bei dem die

ψ_{k}

$\psi _{k}$ sind

δ

$\delta$ -Funktion normalisiert,

\int D X ψ_{k} (X) \bar{ψ_{l} (X)} = δ (k - l) .

$\begin{equation*} \int dx\psi _{k}(x)\overline{\psi _{l}(x)}=\delta (k-l). \end{equation*}$ Beachten Sie, dass diskrete Eigenwerte in das kontinuierliche Spektrum eingebettet sein können. In komplizierteren Fällen können hier auch Entartungen vorliegen. Betrachten wir nun Diracs

| P >

$|P>$ .

\begin{array}{rcl} | P & > & = \int_{Λ} E (D λ) | P >= \sum_{N} \sum_{M} | φ_{N M} >< φ_{N M} | P > + \sum_{S} \int_{Λ^{C Ö N T}} D λ | ψ_{λ S} >< ψ_{λ S} | P > \\ \leftrightarrow & \sum_{R} | ξ^{R} D > + \int D ξ^{'} | ξ^{'} C > . \end{array}

$\begin{eqnarray*} |P &>&=\int_{\Lambda }E(d\lambda )|P>=\sum_{n}\sum_{m}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|P>+\sum_{s}\int_{\Lambda ^{cont}}d\lambda |\psi _{\lambda s}><\psi _{\lambda s}|P> \\ &\leftrightarrow &\sum_{r}|\xi ^{r}d>+\int d\xi ^{\prime }|\xi ^{\prime }c>. \end{eqnarray*}$ Notiere dass der

ξ^{r} d

$\xi ^{r}d$

\leftrightarrow< φ_{n m} | P >

$\leftrightarrow <\varphi _{nm}|P>$ sind im Allgemeinen nicht auf Eins normiert.

Tatsächlich ist Diracs Ansatz, obwohl er intuitiv ansprechend ist, etwas ungenau.

Sollen die Eigenkets in |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle gewichtet werden?

Liebhaber der Physik

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omyojj

Liebhaber der Physik

Brandon Enright

Emilio Pisanty

Urgje

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