Was ist der physikalische Grund für die Linearität der Schrödinger-Gleichung?

Es versteht sich, dass die Physik – zumindest in ihrer jetzigen Form – keine Antworten auf die Frage „Warum diese Gesetze?“ liefert. Fragen. Es kann nur ein emergentes Gesetz aus einem tieferen und grundlegenderen Gesetz beschreiben. Die Quantentheorie ist bisher das grundlegendste Framework, das wir haben, daher gibt es keinen fundamentaleren "Grund", ihre Struktur zu beschreiben, als Verbindungen zwischen verschiedenen Eigenschaften der Theorie zu finden.

Die Linearität der Schrödinger-Gleichung ist eine Folge des allgemeineren Superpositionsprinzips . Dieses Prinzip besagt, dass sich Ursachen linear zu Wirkungen addieren und wird postuliert .

Aber was führte uns zu diesem Postulat? Experimentelle Beobachtungen - Welleneffekte wie Interferenz und bestimmte Experimente mit Spin/Polarisation von Teilchen. Siehe z. B. das Doppelspaltexperiment für Interferenz und das Gesetz von Malus für polarisiertes Licht - obwohl Sie einen Strahl perfekt polarisierter Photonen in einem anderen Winkel durch einen Polarisator leiten, können sie "linear zerlegt" werden in Photonen unterschiedlicher Polarisation und einen Teil davon sie durchläuft. Dh die durchtretenden Photonen werden entsprechend der Ausrichtung des Polarisators polarisiert und dieser Vorgang kann allein durch die Linearität quantenmechanischer Zustände vollständig verstanden werden.

Die Forderung nach Linearität war jedoch nur eine Folge der Kenntnis hauptsächlich linearer Wellengleichungen. Diese Effekte sind in einer Theorie mit leichten Nichtlinearitäten denkbar und wurden tatsächlich vorgeschlagen. Dieser Artikel gibt einen kurzen Überblick über die Vorschläge und ihre experimentellen Tests, die ergaben, dass die vorgeschlagenen Nichtlinearitäten außerhalb des Erfassungsbereichs liegen.

Der verlinkte Artikel liefert auch einen "Beweis" für die Linearität der Evolution der Quantenmechanik unter einigen vernünftigen Annahmen. Aber ich würde es eher als Beweis einer tieferen Verbindung zwischen der üblichen Struktur von Operatoren und linearen Zustandsräumen mit der allgemeinen Linearität der quantenmechanischen Evolution verstehen. Dh der Artikel zeigt, dass wir auf ein anderes Framework ohne Zustände umsteigen müssten$|\psi\rangle$, lineare hermitische Operatoren und ihre übliche Interpretation, um Nichtlinearität in die Quantenmechanik einzubeziehen.

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Die Schlussfolgerung ist also - es scheint, dass die Linearität der quantenmechanischen Evolution (auch bekannt als Schrödinger-Gleichung) ein wesentlicher Bestandteil der Struktur der Theorie ist. Trotzdem können wir die Linearität nie vollständig begründen, der Hauptgrund dafür ist "es funktioniert einfach". Aber das schließt die Möglichkeit eines Paradigmenwechsels einschließlich der Einführung von Nichtlinearität nicht aus.

Es ist besser in der Heisenberg-Darstellung zu sehen. Physikalische Größen, Observables, werden durch hermitesche lineare Operatoren dargestellt. Bewegungsgleichung ist dann (für ein nicht-relativistisches massives Teilchen):

$$m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) \tag{1}$$

mit den Quantisierungsbedingungen:

$[\hat X(t),m \dfrac{d\hat X(t')}{dt}]_{|t=t'} =i \hbar$

Die gleichung$(1)$ist eine Gleichung zwischen Operatoren, also haben wir:

$$\forall |\psi\rangle, \quad m \dfrac{d^2\hat X(t)}{dt^2} |\psi\rangle = - \dfrac{\partial V(\hat X)}{\partial \hat X}(t) |\psi\rangle\tag{2}$$

Hier$|\psi\rangle$ist ein konstanter Zustand (unabhängig von der Zeit).

Gleichung$(2)$ergibt sich eindeutig, weil man in der Quantenmechanik lineare Operatoren verwendet.

Nun, das bedeutet nicht diese Gleichung$(1)$ist eine lineare Gleichung relativ zum Positionsoperator$\hat X(t)$. Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall, außer in ganz besonderen Fällen (freie Teilchen, harmonischer Oszillator).

Wir können auch eine Energieintegralgleichung verwenden, die auch eine Gleichung zwischen Operatoren ist:

$$\frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2 + V(\hat X)(t) = E \tag{3}$$

Wo$E$ist eine konstante Matrix (unabhängig von der Zeit). Wir haben dann:

$$\forall |\psi\rangle, \quad \frac{m}{2} \dot {\hat X(t)}^2|\psi\rangle + V(\hat X)(t)|\psi\rangle = E |\psi\rangle\tag{4}$$

Diese Gleichung ist nach wie vor "linear".$\psi$, entspricht aber keiner linearen Bewegungsgleichung für$\hat X(t)$, außer wenn das Potential null oder höchstens quadratisch in ist$\hat X$