Messung in einem allgemeinen Überlagerungszustand

Question

Messung in einem allgemeinen Überlagerungszustand

Jack-Jack

Allgemeiner Überlagerungszustand (der $u_n (x)$ sind der räumliche Anteil der Energieeigenfunktionen):

ψ (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} ψ_{N} (X, T) = \sum_{N = 1}^{\infty} C_{N} u_{N} (X) \exp (- \frac{ich E_{N} T}{ℏ})

$\psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n(x,t) =\sum_{n=1}^\infty c_n u_n(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_n t}{\hbar}\right)$

Die Ausdehnungskoeffizienten $c_n$ sind (komplexe) Konstanten

Wenn eine Messung durchgeführt wird:

Bei einer Messung einiger beobachtbarer $O$ auftritt, die Wellenfunktion $\psi=\sum_nc_n \psi_n$ (Wo $\psi_n$ sind die Eigenfunktionen bzgl $\hat{O}$ ) wird auf eines der verschiedenen möglichen Messergebnisse projiziert, wobei eine Projektionswahrscheinlichkeit gegeben ist durch $|c_n |^2$ .

Betrachten Sie jedoch das Beispiel eines Teilchens in einem Überlagerungszustand des unendlichen 1D-Quadrats, das durch eine gleichgewichtete Kombination des Grund- und des ersten Zustands gut beschrieben wird:

ψ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2}} [u_{1} (X) \exp (- \frac{ich E_{1} T}{ℏ}) + u_{2} (X) \exp (- \frac{ich E_{2} T}{ℏ})]

$\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[ u_1(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_1 t}{\hbar}\right)+u_2(x) \exp⁡\left(-\frac{iE_2 t}{\hbar}\right) \right]$

Wahrscheinlichkeitsdichte ändert sich mit der Zeit:

| ψ (X, T) |^{2} = \frac{1}{2} u_{1}^{2} (X) + \frac{1}{2} u_{2}^{2} (X) + u_{1} (X) u_{2} (X) \cos (\frac{(E_{2} - E_{1}) T}{ℏ})

$|\psi(x,t)|^2=\frac{1}{2} u_1^2 (x)+ \frac{1}{2} u_2^2 (x)+u_1 (x) u_2 (x)\cos\left(\frac{(E_2-E_1)t}{\hbar}\right)$

Inwiefern ist beides wahr? Seit $|c_n|^2$ ist aber konstant $|\psi(x,t)|^2$ ist nicht und sie repräsentieren die gleichen Dinge (glaube ich??)

Hans Wurst

Für die zeitliche Entwicklung ist die relative Phase der beitragenden Energieeigenzustände von Bedeutung. Die einfachen Betragsquadrate der Koeffizienten enthalten diese Informationen nicht. Ein Objekt, das die äquivalente Information hat, wäre entweder ein Vektor mit allen komplexen Koeffizienten oder eine Dichtematrix. Sie könnten beispielsweise nicht entscheiden, ob der oszillierende Term in Ihrem Beispiel ein Sinus oder ein Kosinus ist (oder irgendetwas dazwischen, das durch die relative Phase der Koeffizienten bestimmt wird), wenn Sie nur die quadrierten Koeffizienten erhalten würden.

Hans Wurst

Beachten Sie auch, dass die

c_{n}

$c_n$ im Zitat können von den Ausdehnungskoeffizienten bezüglich der Energieeigenzustände abweichen. Die zeitunabhängige Wahrscheinlichkeitsinterpretation der quadrierten Koeffizienten gilt nur für die Entwicklungskoeffizienten bezüglich der Eigenbasis des gemessenen Operators.

Antworten (1)

Messung in einem allgemeinen Überlagerungszustand

Für die zeitliche Entwicklung ist die relative Phase der beitragenden Energieeigenzustände von Bedeutung. Die einfachen Betragsquadrate der Koeffizienten enthalten diese Informationen nicht. Ein Objekt, das die äquivalente Information hat, wäre entweder ein Vektor mit allen komplexen Koeffizienten oder eine Dichtematrix. Sie könnten beispielsweise nicht entscheiden, ob der oszillierende Term in Ihrem Beispiel ein Sinus oder ein Kosinus ist (oder irgendetwas dazwischen, das durch die relative Phase der Koeffizienten bestimmt wird), wenn Sie nur die quadrierten Koeffizienten erhalten würden.
Beachten Sie auch, dass die $c_n$ im Zitat können von den Ausdehnungskoeffizienten bezüglich der Energieeigenzustände abweichen. Die zeitunabhängige Wahrscheinlichkeitsinterpretation der quadrierten Koeffizienten gilt nur für die Entwicklungskoeffizienten bezüglich der Eigenbasis des gemessenen Operators.

Lukas Baldo · Answer 1

Sie repräsentieren nicht die gleichen Dinge.

Der $c_n$ s sind die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass sich das System im Energie-Eigenzustand befindet $n$ wenn Sie die Energie zu irgendeinem Zeitpunkt messen .
Die Wellenfunktion $\psi(x,t)$ , andererseits ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass das System an der Position sein wird $x$ wenn Sie die Position zur Zeit messen $t$ .

In Ihrem Fall sind das die zeitabhängigen Energieeigenzustände

\begin{aligned} ψ_{N} (X, T) \propto u_{ich} \exp (- ich E_{ich} T / ℏ), \end{aligned}

$\begin{align} \psi_n(x,t) \propto u_i~\exp(-iE_it/\hbar), \end{align}$ bis zur Normalisierung. Aus Ihrer ersten Gleichung ist leicht ersichtlich, dass, wenn diese Zustände bereits normalisiert sind, die Koeffizienten es auch sein müssen

c_{n} = 1 / \sqrt{2}

$c_n = 1/\sqrt{2}$ . Wenn dies nicht der Fall ist, können Sie die Koeffizienten ermitteln, indem Sie berücksichtigen, dass die Energieeigenzustände orthonormal sein müssen. Dann

\begin{aligned} ⟨ ψ_{M}, T | ψ, T ⟩ & = \sum_{N} C_{N} ⟨ ψ_{M}, T | ψ_{N}, T ⟩ \\ = \sum_{N} C_{N} δ_{N, M} \\ = C_{M} . \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi_m, t\vert \psi, t\rangle &= \sum_n c_n \langle \psi_m, t\vert \psi_n, t \rangle \\ &= \sum_n c_n \delta_{n,m} \\ &= c_m. \end{align}$

Durch Erweitern des Positionsraums:

\begin{aligned} ⟨ ψ_{M}, T | ψ, T ⟩ & = \int ψ_{M}^{*} (X, T) ψ (X, T) D X \\ = \int ψ_{M}^{*} (X, T) \frac{1}{\sqrt{2}} [u_{1} (X) e^{- ich E_{1} T / ℏ} + u_{2} (X) e^{- ich E_{2} T / ℏ}] \\ = \int ψ_{M}^{*} (X, T) \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{ψ_{1} (X, T)}{N_{1}} + \frac{ψ_{2} (X, T)}{N_{2}}] \\ = \frac{δ_{M, 1}}{\sqrt{2} N_{1}} + \frac{δ_{M, 2}}{\sqrt{2} N_{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi_m, t\vert \psi, t\rangle &= \int \psi_m^*(x,t) \psi(x,t) dx \\ &= \int \psi_m^*(x,t) \frac{1}{\sqrt{2}} \left[u_1(x)e^{-iE_1t/\hbar} + u_2(x)e^{-iE_2t/\hbar}\right] \\ &= \int \psi_m^*(x,t) \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\frac{\psi_1(x,t)}{N_1} + \frac{\psi_2(x,t)}{N_2}\right] \\ &= \frac{\delta_{m,1}}{\sqrt{2} ~ N_1} + \frac{\delta_{m,2}}{\sqrt{2} ~ N_2}, \end{align}$ bei dem die

N_{i}

$N_i$ 's sind die Normalisierungsfaktoren der

u_{i}

$u_i$ Verteilungen.

Endlich,

\begin{aligned} | C_{1} |^{2} & = \frac{1}{2 N_{1}^{2}} = \frac{1}{2 \int | u_{1} (X) |^{2} D X} \\ | C_{2} |^{2} & = \frac{1}{2 N_{2}^{2}} = \frac{1}{2 \int | u_{2} (X) |^{2} D X} . \end{aligned}

$\begin{align} \vert c_1 \vert^2 &= \frac{1}{2 ~ N_1^2} = \frac{1}{2 ~ \int \vert u_1(x)\vert^2 dx} \\ \vert c_2 \vert^2 &= \frac{1}{2 ~ N_2^2} = \frac{1}{2 ~ \int \vert u_2(x)\vert^2 dx}. \end{align}$

Denken Sie daran: Die Wahrscheinlichkeiten hängen davon ab, welche Observable Sie messen .

Das in meiner Frage zitierte Bit wird direkt aus meinen Notizen kopiert, daher gehe ich davon aus, dass dies zu 100% richtig ist. Da unsere Bedingungen für jede Observable gelten und nicht nur für Energie, und da die Position eine Observable ist, warum sollte sie nicht auch für die Position gelten.
Die Wahrscheinlichkeit $\vert c_n \vert^2$ ist für keine Observablen zeitlich konstant , nur für Observablen, die mit dem Hamilton-Operator pendeln. Für ein Quadrat gut der Positionsoperator $\hat{x}$ pendelt nicht mit dem Hamiltonoperator $\hat{H} = \hat{p}^2/2m + V(\hat{x})$ , also die Wahrscheinlichkeitskoeffizienten $\vert\psi(x,t)\vert^2$ sind zeitlich nicht konstant. Ich vermute das im Ausdruck $ψ=∑_nc_n ψ_n$ Der Dozent meinte, dass diese Wellenfunktionen und Koeffizienten zum Zeitpunkt der Messung genommen werden sollten $t_0$ .

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Jack-Jack

Hans Wurst

Hans Wurst

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Lukas Baldo

Jack-Jack

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