Wie entsteht nichtlineares Verhalten aus dem inhärent linearen QM-Rahmen?

Nichtlinearität entsteht, wenn man gewissermaßen die Grenze der Quantendynamik nimmt. Zwei Standardbeispiele sind:

1) die semiklassische Näherung (dh das Korrespondenzprinzip von Born), wobei im Grenzfall großer Quantenzahlen ("$\hslash\to 0$") wird die lineare Quantendynamik zur klassischen (normalerweise nichtlinearen) Dynamik;

2) Annäherung an das mittlere Feld (dh die Grenze einer sehr großen Anzahl von Teilchen), wobei die Dynamik jeder Komponente des Systems durch eine effektive nichtlineare Dynamik modelliert wird (dh Hartree- oder Gross-Pitaevskii-Gleichungen als mittlere Feldgrenze von Viele-Bosonen-Systeme in kondensierter Materie).

Das Thema der rigorosen Analyse dieser klassischen oder mittleren Feldgrenze ist ein sehr aktives Thema im Bereich der mathematischen Physik/Analyse von PDEs.

Aus dem Experimentieren mit und der Intuition der Quantengleichungen würde ich Folgendes als zumindest eine Teillösung vorschlagen:

1. Die erste besteht darin, den Status der Linearität der Quantenmechanik und der Nichtlinearität der klassischen Mechanik zu klären: Das heißt, was ist in der Quantenmechanik linear und in der klassischen nicht linear? Der Trick dabei ist, zu erkennen, dass die Schrödinger-Gleichung, die lineare Gleichung in der Quantenmechanik, nicht direkt die Bewegung eines Punktes im physikalischen Raum beschreibt, sondern vielmehr die Bewegung eines Punktes im Hilbert-Raum, einem oft unendlichdimensionalen Vektor (linearer) Raum. Während in der klassischen Mechanik die maßgeblichen Gleichungen (z. B. Newtons Bewegungsgesetze) direkt die Bewegung eines Punktes im physikalischen Raum bestimmen. Die Entsprechung ergibt sich dadurch, dass die Elemente des Hilbertraums als komplexwertige Funktionen dargestellt werden können $\psi(x)$unterliegen geeigneten Beschränkungen, während dies$x$stellt die übliche Position dar, die wir aus der klassischen Mechanik kennen. Diese Funktion$\psi(x)$stellt eine Form mehrdeutiger Informationen über die Position dar$x$, nämlich eine "Norm-2, komplexe" Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sie können sagen, dass die Position eines Partikels klarer definiert ist, wenn die Verteilung dicht gepackt ist und Spitzen aufweist, und weniger klar definiert ist, wenn die Verteilung über einen weiten Bereich von verteilt ist$x$-Werte. Wenn wir uns vorstellen, dass es sich im Laufe der Zeit entwickelt, können wir schreiben$[\psi(t)](x)$Verwenden Sie stattdessen die "Currying" -Methode aus der Computerprogrammierung: Dies ist eine Funktion, die für jeden Parameter eine Funktion zurückgibt$t$, die dann mit ausgewertet wird$x$, um die Intuition zu bewahren.
2. Damit entspricht die angenäherte "klassische Bewegung" im Fall eines einzelnen Teilchens dem Fall, in dem ein Peak mit enger Spitze in der$\psi(t)$Funktionen für jede Zeit$t$bewegt sich und bleibt dabei eng spitz. Die Position dieses Peaks ist die "wahrscheinlichste Position".
3. Die Nichtlinearität oder exponentielle Divergenz im klassischen Chaos spiegelt eine Divergenz zwischen Positionen im Positionsraum nach einer kleinen Störung wider, dh zwischen Positionen$x(t)$Und$x^{*}(t)$Wo$x^{*}(0) = x(0) \pm \epsilon$für ein kleines$\epsilon > 0$. Nämlich zumindest zeitweise$|x^{*}(t) - x(t)|$wächst mindestens exponentiell ab$\epsilon$. Dies würde im „klassischen Quantum“ von Punkt 2 oben dem exponentiell wachsenden Abstand zwischen Spitzen zweier getrennter entsprechen$\psi(0)$Und$\psi^{*}(0)$Anfangswellenfunktionen, deren Spitzenzentren durch ein kleines getrennt sind$\epsilon$.
4. Aber angesichts von Punkt 1 ist die relevante Divergenz, wenn es darum geht, dass die Quantengleichungen linear sind, keine Divergenz$x$-space, was wirklich nur ein Index ist, den wir verwenden, um ein Element des Hilbert-Raums zu beschreiben , aber die Divergenz innerhalb des Hilbert-Raums selbst ! Und dafür können Sie es nicht allein mit dem Abstand zwischen Spitzen messen, sondern müssen mit dem richtigen Begriff des Abstands im Hilbert-Raum messen, tatsächlich ist ein solcher Begriff teilweise das, was die Idee des Hilbert-Raums selbst ausmacht. Wenn$\psi$Und$\phi$sind zwei Elemente (Hilbert-Vektoren), die wie oben als Funktionen dargestellt werden, dann ist der Abstand im Hilbert-Raum $$d(\psi, \phi) = -\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x) - \phi(x)|^2\ dx$$ (Dies nimmt nur die Norm der vektoriellen Differenz$\psi - \phi$.) Nun nehme das an$\psi(x)$Und$\phi(x)$sind zwei gleich enge, aber weit auseinander liegende Spitzen. Aus der Subtraktion ist unschwer zu erkennen, dass die integrierte Funktion nur eine einzelne Funktion mit zwei weit auseinander liegenden ist$x$, Spitzen. Das Integral kümmert sich jedoch nicht um den Abstand zwischen ihnen in der$x$-koordinieren, nur die Fläche unter ihnen, und tatsächlich ist diese unabhängig von ihrer Trennung im Wesentlichen konstant , da es nur die Summe der Flächen unter jedem Peak einzeln ist! Selbst wenn sich also die beiden Peaks im klassischen ($x$)-Raum, die beiden Hilbert-Raum-Elemente , denen sie entsprechen und die die Quantengleichungen regeln, trennen sich überhaupt nicht ! Somit gibt es auf dieser Basis keinen Widerspruch zwischen dem linearen Verhalten der Hilbert-Dynamik und dem hochempfindlichen, nichtlinearen Verhalten der Spitzenposition.
5. Ein letztes Attribut, das wichtig sein könnte, ist die Tatsache, dass die Zustände gebundener Quantensysteme (dh analog zu den gebundenen klassischen, die in der Untersuchung des Chaos verwendet werden) der Wiederholung unterliegen - das heißt, der$\psi(t)$Die Evolution wird sich schließlich immer nach einem angemessen langen Intervall wiederholen, wenn nicht genau, dann wird sie willkürlich nahe kommen. Der Grund dafür ist, dass jeder solche gebundene Zustand$\psi$kann als Summe gebundener Energieeigenzustände ausgedrückt werden, deren Dynamik gemäß der Schrödinger-Gleichung periodisch ist, und die Periode ist umgekehrt proportional zur Energie jedes Zustands. Zumindest für ein immer gebundenes System (z. B. den harmonischen Quantenoszillator oder besser das Quantendoppelpendel ) bilden die gebundenen Zustände einen (verallgemeinerten, unendlich lineare Kombinationen zulassenden) Basissatz für den Hilbert-Raum, was bedeutet, dass jedes gegebene Hilbert-Element sein kann ausgedrückt als (unendliche) Summe dieser, effektiv eine "Wellenfunktion der Energie", "$\psi(E)$". Die niedrigste Energie hat die längste Periode, die Perioden werden mit zunehmender Energie kürzer. Damit die Summe konvergiert, müssen die Terme mit höherer Energie natürlich niedrigere Amplituden haben, und das bedeutet, dass wir sie nach einer Weile effektiv vernachlässigen können um eine sehr genaue Annäherung an den Anfangszustand zu liefern, in dem wir das System gestartet haben, vielleicht bis zu den Grenzen eines kontaminierenden Fehlers, und daher können wir es für die theoretische Analyse sogar als in einem solchen Zustand befindlich betrachten Dieser Zustand wird sich schließlich wiederholen selbst, nach einer Periode, die dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller zusammengesetzten Perioden entspricht, selbst wenn die Position der anfänglichen Wellenspitze nicht auf einer klassischen periodischen Umlaufbahn liegt. Wie ist dies mit dem klassischen Verhalten vereinbar? Nun, was passiert ist, dass es passiert wird eine Zeit lang eine chaotische Bewegung ausführen, dann diePeak wird sich langsam ausbreiten und schließlich den Winkelraum des Doppelpendels ausfüllen, sich selbst stören und zu einem nicht-klassischen Nebelzustand werden, in dem sich das Pendel jetzt in einem seltsamen, flackernden Quanten-Fuzz von Orientierungen befindet, der kein Gegenstück in der klassischen hat chaotische Theorie, und dies kann ungeheuer lange andauern, bis sich die inneren Komponenten schließlich wieder finden und es herauskommt, um sich wieder zu einem einzigen Paket an der ursprünglichen Position zu sammeln, wo es sich erneut wiederholt. Indem Sie etwas WEEEEEEEERD tunnachdem es lange Zeit verlassen wurde (intuitive Regel: Wenn Sie finden, dass etwas nach einer einigermaßen guten Theorie nett und intuitiv sein "sollte", wird es jedoch nach einer besseren Theorie etwas tun, das den Vorhersagen dieser Theorie widerspricht, wie sich selbst wiederholen oder nicht chaotisch sein , dann ist es fast sicher, dass es seinen Weg dorthin WEEEERD muss), es schleicht sich um die Grenzen des klassischen Chaos und erfüllt die Anforderungen der Quantentheorie.

Ich beantworte Ihre Frage lieber mit meiner Frage. Die klassische Elektrodynamik mit Maxwell-Gleichungen ist eine lineare Theorie. Dennoch gibt es dort viele Effekte, bei denen wir Nichtlinearität sehen. Nichtlinearität entsteht durch die Wechselwirkung mit Materie, wenn ihre Eigenschaften beginnen, von elektrischen oder magnetischen Feldern abzuhängen. Die Gleichungen selbst sind jedoch linear.

Andere haben bereits erwähnt, dass es hier darum geht, dass Sie Linearität in der Gleichung für eine bestimmte Variable haben (z. B. Wellenfunktion in QM). Wenn Sie versuchen, andere Variablen (messbare) in einem interagierenden System zu berechnen, ist es keine Überraschung, dass Sie ein nichtlineares Ergebnis erhalten. Nehmen Sie zum Beispiel ein zweistufiges Atom, das mit einer elektromagnetischen Welle interagiert. Wenn Sie die Gleichungen genau lösen (ohne Annahmen über ein schwaches EM-Feld oder weit von der Resonanz entfernte Frequenzen usw.), ist das Ergebnis, dass die elektromagnetischen Eigenschaften der Materie immer nicht linear sind, da sich der Zustand des Atoms nach der Wechselwirkung mit Licht geändert hat und jetzt anders interagiert (einige Elektronen gingen in einen höheren Energiezustand). Aber sowohl die Schrödinger- als auch die Maxwell-Gleichung hier sind linear.

Die Quantenmechanik besteht aus zwei Teilen: einer gut verstandenen linearen Evolution und einem ziemlich mysteriösen Messprozess. Die Messung ist nicht linear. Eine schöne Diskussion der Quantenmessung findet man in Roger Penroses Buch "The Emperors's New Mind", wo sie versuchsweise mit dem Bewusstsein des Beobachters in Verbindung gebracht wird.

Der Fall einer quantisierten Version eines klassischen chaotischen Systems wurde in vielen Artikeln diskutiert. Wenn sich das System vollständig isoliert entwickelt, dann stimmen seine Erwartungswerte aufgrund von Interferenzen nicht annähernd mit denen klassischer chaotischer Systeme überein. Aber reale Systeme in der Größenordnung, in der wir chaotisches Verhalten beobachten, entwickeln sich nicht isoliert, sie interagieren mit der Umwelt. Diese Wechselwirkung führt zusätzliche Terme in die Bewegungsgleichung des Systems ein, die die Quanten- und klassischen Erwartungswerte auf den relevanten Längen- und Zeitskalen übereinstimmen lassen "Decohärenz, Chaos, Quanten-Klassik-Korrespondenz und der algorithmische Zeitpfeil" von Zurek:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9803042

und viele ähnliche Abhandlungen. Es sollte beachtet werden, dass dies nicht dasselbe ist wie das Nehmen des Limits$\hbar\to 0$. Es ist auch nicht dasselbe, als Wellenpakete einfach divergieren zu lassen, was zu Ergebnissen führen würde, die überhaupt nicht mit klassischem choatischem Verhalten übereinstimmen. In klassischen chaotischen Systemen ist beispielsweise das relevante Verhalten, dass sehr nahe beieinander liegende Trajektorien im Laufe der Zeit ein sehr unterschiedliches Verhalten zeigen können. Aber beim Spreizen von Wellenpaketen ist die ganze Idee von Trajektorien aufgrund von Interferenztermen eine schlechte Annäherung. Die Trajektoriennäherung funktioniert nur wegen der Dekohärenz.