Beispiele für stückweise glatte dynamische Systeme [geschlossen]

Ich habe in letzter Zeit kontinuierliche dynamische Systeme untersucht, deren Phasenraum in mehrere Bereiche unterteilt werden kann. In jedem von ihnen ist die Strömung glatt, aber gerade an den Grenzen gibt es einen diskreten Sprung in der Strömung. In der mathematischen Beschreibung ist die rechte Seite der Differentialgleichung für verschiedene Bereiche des Phasenraums der dynamischen Variablen unterschiedlich.

Hinweis: Ich meine nicht etwas Triviales wie Systeme, die in verschiedenen durch Grenzen getrennten Bereichen des physikalischen Raums Glätte aufweisen, wie unterschiedlich erhitzte Gase in Trennwänden oder Wasser in Kontakt mit Dampf usw. Die verschiedenen Bereiche, die ich erwähne, sind Bereiche im Phasenraum der dynamischen Systeme. Stellen Sie sich also einen Satz zeitkontinuierlicher Differentialgleichungen vor, die eine Strömung definieren, die in ihrem Phasenraum in Bereiche unterteilt ist, in denen die Entwicklung der Gleichungen stückweise glatt ist.

Ich meine auch nicht den Phasenübergang . Hier gibt es keine Variation von Ordnungsparametern oder Bifurkationen. Die stückweise Glattheit existiert im dynamischen Phasenraum für einen festen Wert der Systemparameter.

Ich habe sie im technischen Kontext eines mechanischen Geräts untersucht, bei dem sich die Geschwindigkeit eines beweglichen Teils plötzlich ändert, wenn es auf etwas trifft. Aber mir fiel auf, dass solche stückweise glatten Systeme in vielen Szenarien zu finden sind, von anderen Bereichen der Physik, vielleicht bestimmten Quantenphänomenen, bis hin zu biologischen Systemen, die mit der Theorie dynamischer Systeme untersucht werden können.

Einige Beispiele für die Art von Systemen, nach denen ich suche, sind:

  • Quantenmechanik: Das Muffin-Tin-Potential ist ein Quantenmodell, bei dem das Potential (die rechte Seite der Differentialgleichung) angenähert wird, um stückweise definiert zu werden.
  • Klassische Mechanik: der hart schlagende Oszillator (Oszillator mit einer starren Wand an einem Ende, die die Amplitude begrenzt, wie die Geräte, die ich studierte).
  • Theoretische Informatik: Hybride Automaten und Erreichbarkeitsprobleme , die weiter stückweise linear sind.

Ich bin neugierig, mein Verständnis des mechanischen Systems auf solche Systeme anzuwenden.

Was sind also andere dynamische Systeme in der Natur, die ein stückweise glattes Verhalten zeigen?

Übermäßig breite und eindeutig große Liste. Stimmen Sie ab, um zu schließen.
Sie haben im Grunde eine Stoßwelle definiert : "Stoßwellen sind durch eine abrupte, nahezu diskontinuierliche Änderung der Eigenschaften des Mediums gekennzeichnet." (aus Wikipedia). Wenn Sie zB den Luftstrom durch einen Überschallknall untersuchen, haben Sie eine glatte Lösung innerhalb und außerhalb des Kegels, und Sie müssen die beiden Lösungen an der Wellenfront wieder verbinden, wo einige Mengen erhalten bleiben und andere nicht.
Es entspricht auch dem Phasenübergang in der Thermodynamik. Dies ist eine riesige Domain, also neige ich dazu, @genneth zuzustimmen.
@FrédéricGrosshans, nein, es entspricht nicht Phasenübergängen. Der Sprung tritt auf, wenn Sie in diesem Fall die Auftragsparameter des Systems ändern. Hier wird bei gleichen festen Systemparameterwerten zwischen zwei Bereichen des Phasenraums gesprungen.
@AbhranilDas: Ich hatte ein System im Sinn, das eine Art räumlichen Phasenübergang aufweist. Versiegeln Sie zum Beispiel etwas Wasser in einem geschlossenen Volumen. Unter den richtigen Bedingungen wird das Wasser in eine Zone mit flüssigem Wasser und eine Zone mit Dampf aufgeteilt. Die globalen Parameter von (V, T) des Systems bleiben unverändert, und es gibt keinen externen Parameter, der die Dichte dazu zwingt, an der Oberfläche diskontinuierlich zu sein. Dann haben Sie einige Systeme, die beim Phasenübergang eine gewisse Hysterese aufweisen, und sie können Ihren Vorstellungen näher kommen. Können Sie Ihre Frage bearbeiten, um ein bestimmtes Beispiel für Ihr dynamisches System zu geben?
@FrédéricGrosshans ja, aber weder Stoßwellen noch Wasser in Kontakt mit Dampf sind ein dynamisches System , in dem sich makroskopische Variablen ändern. Ich werde meine Frage bearbeiten, um sie zu erarbeiten.
@AbhranilDas: OK. Es ist jetzt klarer.
Der Link zu springerlink.comist defekt.

Antworten (1)

Vielleicht interessieren Sie sich für Impulsgekoppelte Oszillatoren. Siehe zum Beispiel Mirrollo & Strogatz, 1990 :

Sie untersuchen einen Satz identischer Oszillatoren, die jeweils durch eine einzelne Phasenvariable beschrieben werden ϕ ich ∈ [ 0 , 1 ] mit ϕ ich ˙ = 1 . Wenn ϕ ich = 1 Der Oszillator wird auf Null zurückgesetzt und sendet eine Spitze aus, die einen sofortigen Phasensprung in allen anderen Oszillatoren verursacht, der durch eine Übertragungsfunktion gegeben ist H ( ϕ ) . In diesem Artikel zeigen sie, dass eine spezielle Klasse von Übertragungsfunktionen die Oszillatoren dazu bringt, sich für alle Anfangsbedingungen zu synchronisieren.

Dieses Modell mit endlichen Verzögerungen zwischen dem Senden von Spitzen und dem Empfang wird verwendet, um neuronale Netze zu modellieren, siehe zum Beispiel Jahnke et al., 2008 und die darin enthaltenen Referenzen.

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