Was sind die Lösungsräume nichtlinearer Schrödinger-Gleichungen?

Das ist keine Frage der Physik. Wie hier mehrfach betont wurde, können Lösungen der NLS nicht als quantenmechanische Wellenfunktionen interpretiert werden. Ihre Entwicklung ist nicht einheitlich. Folglich hat der Lösungsraum eine viel geringere physikalische Relevanz.

Die kubische NLS, die Sie aufgeschrieben haben, erscheint in verschiedenen Annäherungen an nichtlineare dispersive Wellen (einschließlich KdV, nichtlineare Störungen von Klein-Gordon-Wellen und Wasserwellen); es beschreibt das Modulationsprofil langsam veränderlicher Wellenpakete mit kleiner Amplitude.

Die Gleichung ist hamiltonsch, mit der „Energie“:

$\frac{1}{2}\int |\nabla \psi|^2\,\mathrm{d}x+\frac{\kappa}{4}\int|\psi|^4\,\mathrm{d}x$

und die Masse

$\int |\psi|^2\,\mathrm{d}x$

als Erhaltungsgrößen. Mit diesen Erhaltungsgrößen können Sie die Gleichung für alle gegebenen Zeiten im Sobolev-Raum lösen $H^1$(Dies bedeutet nur, dass die Integrale von$|\nabla \psi|^2$Und$|\psi|^2$konvergieren) falls$\kappa > 0$oder wenn$\kappa < 0$, wenn die Nichtlinearität schwach genug ist, um für alle Zeiten durch den Gradiententerm gesteuert zu werden. Diese letzte Bedingung kann in Bezug auf die Sobolev-Einbettung ausgedrückt werden. In Dimension eins ist sie für Potenz-Nichtlinearitäten erfüllt, die kleiner als ein Quint sind. Wenn die Nichtlinearität zu stark ist (z. B. in einer Dimension größer als 2 für den kubischen Fall, nach dem Sie gefragt haben), können perfekt schöne Lösungen in endlicher Zeit explodieren. In diesem Fall macht es wenig Sinn, von „Lösungsraum“ zu sprechen, da wir nicht jedem Vektor einheitlich eine Zeitentwicklung zuordnen können.

Mathematiker haben sich viel Mühe gegeben, diese Gleichung in verschiedenen Räumen grober Funktionen zu lösen. Wie$H^1$, die meisten von ihnen sind Hilbert-Räume, aber das hat wenig physikalische (und keine quantenmechanische) Bedeutung. Es ist nur eine Frage der Bequemlichkeit.

Obwohl der Lösungssatz der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung (NLS) kein Hilbert-Raum und das Feld ist$\psi$nicht als Wellenfunktion interpretiert werden kann, bedeutet dies nicht, dass die NLS nicht quantisiert werden kann. Es kann, wenn wir interpretieren$\psi$als klassisches Feld.

In diesem Fall kann der Lösungsraum oder äquivalent der Raum der Anfangsbedingungen (Konfigurationen) (indem man eine Lösung einer dieser PDE als Evolution einer Anfangsbedingung oder Konfiguration betrachtet) als klassischer Phasenraum interpretiert werden (Es stellt sich heraus: sei eine unendlichdimensionale symplektische Mannigfaltigkeit).

Es ist eine ganz allgemeine Eigenschaft, dass der Raum der Lösungen oder äquivalent der Raum der Anfangsdaten einer großen Klasse von partiellen Differentialgleichungen eine symplektische Mannigfaltigkeit ist. Dies geschieht in der gewöhnlichen Mechanik. Auch im Fall der linearen Schrödinger-Gleichung oder in Feldtheorien mit linearen Bewegungsgleichungen ist diese symplektische Mannigfaltigkeit der projektive Hilbert-Raum von (der Hilbert-Raum) von Lösungen. Dieser Punkt stellt die Hauptantwort auf die Frage dar und ist wechselseitig mit den linearen und nichtlinearen Schrödinger-Gleichungen.

Nicht nur, dass im Falle des NLE die Entwicklung der klassischen Konfigurationen hamiltonsch ist (dh die Hälfte der Parameter kann als Orte und die andere Hälfte als Impulse interpretiert werden). Es gibt Wahlmöglichkeiten der Anfangsparameter, die fast kanonische Kommutierungsbeziehungen erfüllen, wie etwa die inversen Streuparameter. In diesem Fall kann die Quantisierung ganz einfach durchgeführt werden.

Der einzige Unterschied zwischen diesem Verfahren und der bekannten zweiten Quantisierung des linearen Schrödingerfeldes besteht darin, dass die Lösungen des NLE nichtlinear von den Anfangsparametern abhängen. Natürlich erforderte es viel Einfallsreichtum, diese Lösungen abzuleiten.

Dieses Prinzip wurde in anderen Fällen der Quantisierung nichtlinearer Feldtheorien wie der Chern-Simons-Theorie angewendet.