Wie verwenden Physiker Lösungen für die Yang-Baxter-Gleichung?

Ah. Endlich ein Thema, von dem ich etwas verstehe!

Es gibt viele Stellen in der Physik, an denen die YB-Gleichung auftaucht. Mir fallen im Moment zwei ein.

a. Exakt lösbare Gittermodelle

b. Quantencomputation (QC)

Es ist die zweite Anwendung, die ich am spannendsten finde, also werde ich mich darauf konzentrieren.

Die kanonische Referenz (IMHO) über die Verbindung zwischen der YB-Gleichung und QC ist das wunderbare Papier von Lomonaco und Kauffmann (LK04) http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401090

In der topologischen Quantenberechnung besteht die Hoffnung darin, einheitliche Operationen an Qubits durchführen zu können, indem man sie umeinander herum bewegt. Eine typische Arena ist ein 2D-Elektronengas, in dem unsere Qubits die Quasiteilchen des Systems sind. Wenn wir in 2D zwei Objekte austauschen, erhalten wir eine reichhaltigere Symmetriegruppe als in 3D, wo wir die Permutationsgruppe erhalten, deren Eigenwerte$\pm 1$entsprechen dem Fall von Bosonen bzw. Fermionen. In 2D wird diese Symmetriegruppe jedoch zur Flechtgruppe erweitert - man kann zwei Objekte austauschen, indem man sie so bewegt, dass sich ihre Weltlinien umeinander "flechten". Dieses Flechten kann nicht durch Deformieren der Trajektorien beseitigt werden, da wir die dritte Dimension nicht nutzen können.

Wie dem auch sei, um es kurz zu machen, die YBE kann schematisch als eine Beziehung zwischen drei ausgetauschten Teilchen dargestellt werden (siehe Abb. 1 auf S. 8 der obigen Referenz). Was LK04 dann zeigt, ist, dass Lösungen der YBE einheitliche Matrizen sind, die für Quantencomputer universell sind. Ähnlich wie jede klassische binäre Schaltung aus NAND-Gattern aufgebaut werden kann, kann jede Quantenschaltung aus einem Satz universeller Quantengatter aufgebaut werden.

In der mathematischen Physik verwenden Sie in vielen Zusammenhängen Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung. Insbesondere in der Quantenintegrierbarkeit werden Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung verwendet, um die Kommutierungsbeziehungen aus der Yang-Baxter-Algebra zu erhalten$R_{12}(u,v)T^{1}(u)T^{2}(v) = T^{2}(v)T^{1}(u)R_{12}(u,v)$kann ferner Grenzterme umfassen. Das$R$im Kontext der statistischen Mechanik (zweidimensionale Gitter) wird mit den Gewichten von Boltzmann verwandt, die$T's$sind mit der Monodromie-Matrix verbunden, die die Produkte der Einheimischen sind$R$für die fundamentalen Modelle (fundamentale Modelle: durch die die laxen Operatoren ausgedrückt werden$R$) dieser erste Teil ist die Methode der Quanteninversstreuung, den zweiten Teil möchten wir diagonalisieren$[\tau(u),\tau(v)] = 0$($\tau$ist die Transfermatrix), daher verwenden wir den ersten Teil, um die Zustände von Bethe und Bethe-Gleichungen zu erhalten. Dies ist der algebraische Bethe-Ansatz (das Wichtige hier ist die Existenz von etwas, das als Pseudo-Vakuum bezeichnet wird), der grundlegendste ist der Yang Baxter Gleichung es ist die Essenz. Sie können auch 1+1 quantenintegrierbare Feldmodelle haben und solche Techniken anwenden. Nach dem algebraischen Bethe-Ansatz müssen Sie das innere Produkt und die Korrelationsfunktionen berechnen, dies ist der Teil, der offenere Probleme hat. Eine andere Methode, die sich vom algebraischen Bethe-Ansatz unterscheidet, ist das SOV-Sklyanin, eine Methode, die sowohl auf den Quanten- als auch auf den klassischen Fall angewendet wird. Sie ergibt sich aus der Trennung von Variablen in der klassischen Mechanik. Sklyanin erweitert dies, indem sie die Methode allgemeiner macht.

In Bezug auf die Experimente haben experimentelle Techniken zum Einfangen und Kühlen von Atomen in 1D die Realisierung von exakt gelösten Modellen im Labor ermöglicht.

Lieb-Liniger Bose-Gas:

T. Kinoshita et al. Science 2004, PRL 2005, Nature 2006; A. van Amerongen et al. PRL2008; T. Kitagawa et al. PRL 2010; J. Armijo et al. PRL 2010

Super Tonks-Girardeau-Gas:

E. Haller et al. Science 2009

Entartetes Spin-1/2-Fermigas:

Y. Liao et al. Nature 2010; S. Jochim et al, Science 2011, PRL 2012: Deterministische Präparation eines Wenig-Fermion-Systems; 2 Fermionen in einer harmonischen 1D-Falle

Zweikomponenten-Spinor-Bose-Gas: J. van Druten et al. arXiv:1010.4545

Quenches ist ein sehr aktuelles Thema in dieser Forschung nach dem 26. Juli, dieses Thema wird weitere Experimente ermöglichen (ich weiß das nicht). http://arxiv.org/abs/1407.7167

Im klassischen Kontext dienen Lösungen der klassischen Yang-Baxter-Gleichung zur Berechnung der Poisson-Algebren$\lbrace T^{1}(u),T^{2}(v)\rbrace = [r_{12}(u,v),T^{1}(u)T^{2}(v)]$(es gibt andere, je nachdem, welches Modell und welche Randbedingungen Sie haben) Daraus ergibt sich eine Verbindung zum Hamilton-Formalismus.