Können wir 1D-Potentiale in QM aus dem Spektrum rekonstruieren? [Duplikat]

Wenn wir das Potenzial kennen, können wir das Spektrum des Schrödinger-Operators finden. Die umgekehrte Frage lautet: Können wir mit Kenntnis des Spektrums das Potential rekonstruieren? Beispielsweise hat ein harmonisches Potential ein Spektrum mit gleichen Abständen. Aber ist das Gegenteil wahr?

Dies ähnelt natürlich dem Problem „Die Form der Trommel hören“, das eine negative Antwort hat. Aber wir sollten auch beachten, dass wir in der klassischen Mechanik, wenn das Potential symmetrisch ist, es aus der Schwingungsperiode als Funktion der Energie des Teilchens zurückgewinnen können. Dies ist der genialen Arbeit von Abel zu verdanken.

Nein. Betrachten Sie eine N -dimensionaler Vektorraum mit einem Operator A auf diesem Raum. Bei einer Basis von Eigenvektoren weiß man das A ist bezüglich dieser Basis diagonal, aber die Elemente entlang der Diagonalen (die Eigenwerte) sind unbestimmt.
Ich nehme an, Sie beziehen sich in Ihrem letzten Satz auf die Abel-Transformation?
@Ultima Vielleicht erweitern Sie diesen Kommentar zu einer Antwort?
Dies hat eine gewisse Ähnlichkeit mit Fragen, die in der DFT auftauchen, wie dem ersten Hohenberg-Kohn-Theorem, das besagt, dass das Potential eindeutig durch die Grundzustandsdichte bestimmt wird.
Es ist zu beachten, dass Sie höchstens erwarten können, das Potenzial bis hin zu Symmetrien , dh Verschiebung und Reflexion, zu bestimmen.
@ Danu Ich kenne die Terminologie nicht. Aber ja, es ist eine integrale Transformation.
Ich würde eher "Ja" sagen, weil die Shrodinger-Gleichung es geschafft hat, die Balmer-Reihe zu erhalten, die zuerst eine experimentelle Beobachtung war. de.wikipedia.org/wiki/… . Zumindest schließt es ein "Nein" aus
@annav die Antwort ist nein ... siehe meine Antwort unten ;-)
@yuggib das ist Mathematik, die alle Daten vorhersagt. Ich weise darauf hin, dass Daten zur anfänglichen mathematischen Bestätigung des QM-Modells mit dem Wasserstoffatom geführt haben. Ihr „Nein“ wird durch die Existenz dieses entgegengesetzten Weges relativiert. Es ist also vielleicht kein mathematisches Theorem, aber zum Glück für die Physik bestand die Möglichkeit.
@annav, aber ich glaube nicht, dass dies genau ein "umgekehrtes Problem" war, sondern eher eine theoretische Bestätigung eines experimentellen Beweises ;-)
@yuggib Sie suchten nach einem mathematischen Modell, das die Balmer-Reihe ohne die Annahmen des Bohr-Modells rigoros erklärt / als Lösung hat. meiner Meinung nach ist dies umgekehrt.

Antworten (1)

Die Antwort ist nein, fürchte ich. Wie Sie vielleicht wissen, der selbstadjungierte Laplace-Operator − Δ An L 2 ( R ) hat ein rein absolut kontinuierliches Spektrum R + .

Nun lass v ∈ L ∞ ( R , R + ) eine beliebige beschränkte positive Funktion sein. Dann − Δ X + v ( X ) , Wo v fungiert als multiplikativer Operator, ist selbstadjungiert und hat ein Spektrum R + .

Würde sich etwas ändern, wenn man sich auf Potentiale mit nur diskretem Spektrum beschränkt?
@NorbertSchuch nicht solange der Operator begrenzt (und positiv) ist. Möglicherweise haben Sie Eigenwerte in das kontinuierliche Spektrum eingebettet (nicht sicher in 1D, aber zum Beispiel − Δ X − Δ j + j 2 hat die harmonischen Eigenwerte (von j , grob gesagt) eingebettet in das kontinuierliche Spektrum, aber das Gesamtspektrum bleibt bestehen R + Nichtsdestotrotz).
Ich dachte an unbeschränkte Potentiale, die nur ein Punktspektrum haben, wie zB der harmonische Oszillator. -- Aber der oben von Danu verlinkte Beitrag enthält ein Beispiel für ein Potential, das ein Spektrum mit gleichen Abständen reproduziert, aber nicht harmonisch ist, daher lautet die Antwort tatsächlich immer noch nein.
@NorbertSchuch Am harmonischen Beispiel sieht man das − Δ + v ergibt ein rein diskretes Spektrum, wenn ( − Δ + v − ich λ ) − 1 , λ ∈ R , (der Resolvent) ist kompakt. Der Betreiber X 2 für sich genommen (harmonisches Potential) hat kein diskretes Spektrum, sondern rein kontinuierliches (es ist der Ortsoperator im Quadrat). Wie auch immer, Sie können auch ein diskretes Spektrum mit anderen Operatoren reproduzieren, wie Sie bereits angemerkt haben ;-)
Können wir 1D-Potentiale in QM aus dem Spektrum rekonstruieren? [Duplikat]
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