Was ist die Definition eines quantenintegrierbaren Modells?

Quantenintegrierbarkeit bedeutet grundsätzlich, dass das Modell nach Bethe Ansatz lösbar ist. Das bedeutet, dass wir unter Verwendung der Yang-Baxter-Beziehung eine sogenannte "Transfermatrix" erhalten können, die verwendet werden kann, um einen unendlichen Satz von Erhaltungsgrößen zu erzeugen, einschließlich des Hamilton-Operators des Systems, die wiederum mit der vertauschen Hamiltonian. Mit anderen Worten, wenn wir eine Transfermatrix finden, die die Yang-Baxter-Beziehung erfüllt und auch den Hamilton-Operator des Modells erzeugt, dann ist das Modell integrierbar.

Bitte beachten Sie, dass ein lösbares System seltsamerweise nicht dasselbe ist wie ein integrierbares System. Beispielsweise ist das verallgemeinerte Quanten-Rabi-Modell nicht integrierbar, aber lösbar (siehe zB D. Braak, Integrability of the Rabi Model, Phys. Rev. Lett. 107 no. 10, 100401 (2011) , arXiv:1103.2461 ).

Eine nette Einführung in die Integrierbarkeit und den algebraischen Bethe-Ansatz ist diese Reihe von Vorlesungen von Faddeev in Algebraische Aspekte des Bethe-Ansatzes ( Int. J. Mod. Phys. A 10 no. 13 (1995) pp. 1845-1878 , arXiv:hep -th/9404013 )

Wenn wir es mit endlichdimensionalen Quantensystemen ohne Spin zu tun haben, lautet die Definition: Wenn wir ein System mit haben$n$Freiheitsgrade, deren (Quanten-)Hamiltonoperator durch einen Operator gegeben ist$H$, dann heißt dieses System integrierbar , falls es existiert$n$unabhängige Betreiber$K_i$so dass$K_1=H$und$[K_i,K_j]=0$für alle$i,j=1,\dots,n$. Alle Operatoren werden natürlich als (formal) selbstadjungiert angenommen.

Die Frage, wie man hier das Wort „unabhängig“ interpretieren soll, ist etwas kniffelig. Lineare Unabhängigkeit ist nicht ausreichend, und wir sollten zumindest die funktionale Unabhängigkeit von klassischen Grenzen von fordern$K_j$für alle$j=1,\dots,n$.

Für weitere Details siehe z. B. Definition 6 in dieser Veröffentlichung von Miller, Post und Winternitz und die darin enthaltenen Referenzen.