Warum können einige dynamische Systeme plötzlichen Änderungen unterliegen?

Im Kontext dynamischer Systeme gibt es mindestens drei Hauptmechanismen, die zu plötzlichen Änderungen führen können:

• Chaos;
• Multistabilität;
• Gabelung.

Im ersten Fall Chaos , Ihr$S_X$weicht trivialerweise von der Definition selbst ab$-$im chaotischen Regime divergieren benachbarte Trajektorien im Phasenraum exponentiell. Das ist wahrscheinlich die Erklärung, die am engsten mit der "Instabilität" des Wetters zusammenhängt. Das prototypische Schema zweier Trajektorien, die im Phasenraum exponentiell divergieren, lautet:

Wo$\lambda$ist der Lyapunov-Exponent .

Multistabilität bedeutet, dass die Dynamik mehr als ein Ergebnis zulässt, wobei der Anfangszustand des Systems bestimmt, welches letztendlich erreicht wird. Die Region im Phasenraum, deren Punkte sich zu einem gegebenen Attraktor entwickeln, wird Anziehungsbecken genannt . Beim Double-Well-Potenzial ist beispielsweise jedes der beiden lokalen Minima ein Attraktor in Gegenwart von Dissipation, wobei ihre Anziehungsbecken in etwa so aussehen:

Diese Situation kann zu plötzlichen Veränderungen führen, wenn sich das System in der Nähe der Grenze zwischen zwei Anziehungsgebieten befindet. Und wenn das Becken des gewünschten Ergebnisses relativ klein ist, ist es schwer, nicht nahe an der Grenze zu sein. Nicht zu fallen könnte im Kletterbeispiel als gewünschtes Becken angesehen werden, und es ist angesichts der typischen Sicherheitsmargen von wenigen Millimetern oder weniger ein ziemlich kleines Becken.

Bei einer Bifurkation erfährt das System bei der Variation eines Parameters eine qualitative Verhaltensänderung. In gewisser Weise ist es dann nicht mehr genau das gleiche System wie vorher. Wenn zum Beispiel in a$1$-D-System, der Punkt$0$ist ein Attraktor für negative Werte seines Parameters$r$, aber ein Repellor für$r>0$(wo zwei weitere Attraktoren entstehen), erfährt das System eine Bifurkation bei$r=0$und sein Bifurkationsdiagramm (Attraktoren und Repelloren als Funktion eines Parameters) kann wie folgt aussehen:

Daher kann in einem System in der Nähe einer Bifurkation eine kleine Änderung des Parameters zu einer plötzlichen globalen Änderung führen. Beim Wetter bzw. Klimabeispiel könnte das beispielsweise einer Eiszeit entsprechen, die durch eine kleine Änderung der Konzentration eines Gases in der Atmosphäre oder eine kleine Änderung der Erdumlaufbahn ausgelöst wird.