Poincaré-Karten und Interpretation

Die wesentliche Idee einer Poincaré-Karte besteht darin, die Art und Weise, wie Sie ein dynamisches System darstellen, einzugrenzen. Dazu muss das System bestimmte Eigenschaften haben, nämlich von Zeit zu Zeit in einen bestimmten Bereich seines Zustandsraums zurückzukehren. Dies ist erfüllt, wenn die Dynamik periodisch ist, aber es funktioniert auch mit chaotischer Dynamik.

Anstatt die gesamte Flugbahn eines Planeten zu analysieren, würde man, um ein einfaches Beispiel zu nennen, seine Position nur einmal im Jahr betrachten, genauer gesagt immer dann, wenn er (mit einer bestimmten Richtung) eine Ebene schneidet

• die senkrecht zu der Ebene steht, in der die Planetenbahnen liegen,
• der den zentralen Himmelskörper enthält, um den sich der Planet dreht.

Diese Ebene ist ein Poincaré-Schnitt für die Umlaufbahn dieses Planeten, da sie quer zur Strömung des Systems verläuft (die entlang der Bahnen des Planeten verläuft).

Wenn nun die Umlaufbahn des Planeten genau periodisch ist mit einer Periodenlänge, die einem Jahr entspricht, würde unsere Jahresaufzeichnung immer das gleiche Ergebnis liefern. Mit anderen Worten, unser Planet würde den Poincaré-Abschnitt jedes Jahr an der gleichen Stelle schneiden. Ist die Umlaufbahn des Planeten jedoch komplizierter, zB die Perihel-Präzession des Merkur , ändert sich der Schnittpunkt mit dem Poincaré-Schnitt jedes Jahr leicht. Sie können dann eine Poincaré-Karte betrachten, die beschreibt, wie der Schnittpunkt für ein Jahr vom Schnittpunkt für das Vorjahr abhängt.

Während ich für dieses Beispiel nur die geometrische Position betrachtet habe, können Sie auch andere Observable betrachten und müssen dies wahrscheinlich tun, wenn Sie die Position im Phasenraum nicht vollständig aus der geometrischen Position ableiten können. In unserem Beispiel müssten Sie auch den Impuls des Planeten (oder einer anderen beobachtbaren Größe) aufzeichnen.

Nun, was ist der Zweck davon? Wenn die Umlaufbahn unseres Planeten nur geringfügig von der perfekten Periodizität abweicht, dreht sich das, was während eines Jahres passiert, nur im Kreis und ist daher „ziemlich langweilig“ und verschleiert die interessanten Dinge, die auf größeren Zeitskalen passieren. Letzteres kann auf unserer Poincaré-Karte beobachtet werden, die uns zeigt, wie sich die Umlaufbahn jedes Jahr leicht ändert. Daher kann es einfacher oder anschaulicher sein, nur die Poincaré-Karte anstelle der gesamten Trajektorie zu analysieren. Beim Billard ist das noch ausgeprägter: Zwischen zwei Kollisionen mit einer Grenze ist die Dynamik eben$\dot{x}=v$.

Insbesondere lassen sich bestimmte Eigenschaften Ihrer zugrunde liegenden Dynamik auf die Poincaré-Karte übertragen, zB: Wenn die Dynamik chaotisch ist, ist es auch Ihre Poincaré-Karte. Wenn in unserem Planetenbeispiel die Dynamik periodisch mit einem Zeitraum von vier Jahren ist, wird Ihre Poincaré-Karte zwischen vier Punkten wechseln. Wenn Ihre Dynamik quasi-periodisch mit zwei inkommensurablen Frequenzen ist (z. B. wenn eine beobachtbar ist$\sin(x)+\sin(\pi x)$), liegen die Schnittpunkte mit Ihrem Poincaré-Abschnitt alle auf einer geschlossenen Kurve. Beispielsweise entsprechen die meisten geraden Trajektorien auf der Oberfläche eines Torus einer Dynamik mit inkommensurablen Frequenzen und kommen schließlich jedem Punkt auf dem Torus beliebig nahe, dh sie füllen die Oberfläche des Torus aus. Somit ergibt der Schnittpunkt der Trajektorie mit einem Poincaré-Schnitt, der an allen Punkten senkrecht zur Oberfläche des Torus steht, die Grenze eines Kreises (und nicht senkrechte Poincaré-Schnitte ergeben etwas, das einer Ellipse nahe kommt). Im Allgemeinen ist die Dimension der Schnittpunkte mit dem Poincaré-Schnitt die Dimension des Attraktors minus eins.

Wenn Sie ein beobachtetes System modellieren möchten, um Gleichungen zu finden, die seine Dynamik bis zu einem gewissen Grad reproduzieren, können Sie mit der Modellierung der Poincaré-Karte beginnen (dh eine explizite Formel dafür finden).