Ursprünglich bin ich Informatiker; also ich hoffe meine frage ist nicht trivial. Ich arbeite mit Zeitreihen und möchte den Phasenraum aus den Zeitreihen basierend auf zeitverzögerten Versionen von Zeitreihen rekonstruieren. Dazu muss ich rechnen Und Dies sind die Einbettungsdimension bzw. die Zeitverzögerung .
Aber: Heute habe ich einige Experimente gesehen, die auf Zufall basieren Und und ich sah eine Topologie in ihrem Attraktor, woraufhin mir diese Frage in den Sinn kam:
Egal wie man sich entscheidet Und , wenn der Attraktor eine sinnvolle Topologie hat (dh einer geometrisch strukturierten Form folgt), bedeutet das, dass dieser Attraktor eine sinnvolle Dynamik erfassen könnte?
Mit anderen Worten, nehmen Sie an, dass ich berechnet habe Und , aber ich bekomme eine sinnvolle Attraktorform für einen anderen Und . Wie kann ich es interpretieren?
Sehen wir uns an, was passiert, wenn Sie eine nicht optimale Auswahl treffen Und :
Wenn zu niedrig ist, wird der Attraktor nicht vollständig entfaltet, dh Teile Ihres rekonstruierten Attraktors werden sich überlappen, wenn dies nicht der Fall sein sollte. Dies ist äquivalent zu Trajektorien, die sich im Phasenraum kreuzen, was bedeutet, dass das, was Sie rekonstruiert haben, kein richtiger Attraktor oder keine Phasenraumrekonstruktion ist, insbesondere ist es physikalisch nicht sinnvoll.
Beispiel: Jedes zweidimensionale Bild des Lorenz-Attraktors, zB dieses hier .
Wenn zu hoch ist, passiert nichts Schlimmes, außer dass Sie sich bei der Weiterverarbeitung Ihres Ergebnisses mit falschen Dimensionen auseinandersetzen müssen.
Beispiel: Sie betten den Attraktor eines angetriebenen und gedämpften Oszillators (einen Kreis) dreidimensional statt zweidimensional ein. Es ist immer noch ein Kreis.
Wenn leicht vom Optimum abweicht, wird Ihre Rekonstruktion nicht optimal sein, um die Struktur zu sehen, aber es wird immer noch eine gültige Rekonstruktion sein. Tatsächlich gibt Ihnen das Einbettungstheorem von Takens fast jede Wahl ergibt eine richtige Einbettung, wenn man nur von topologischer Äquivalenz ausgeht. Der Vorteil des Optimalen vielmehr sind, dass Sie die Struktur des Attraktors am besten sehen können, dass numerische Analysen des Attraktors besser durchführbar sind und dass Messrauschen und ähnliches Ihre Rekonstruktion minimal beeinflussen.
Beispiel: Wenn Sie eine nicht optimale verwenden für die Einbettung des Attraktors eines angetriebenen und gedämpften Oszillators erhält man keinen Kreis, sondern eine Ellipse. Je weiter weg Ihr ist, desto flacher ist die Ellipse. Es ist leicht zu erkennen, dass bei ausreichend flacher Ellipse und ausreichend starkem Messrauschen die Struktur verloren geht. Darüber hinaus gibt es diskrete Auswahlmöglichkeiten wo die Ellipse zu einer Linie zusammenfällt, was der Grund dafür ist, dass nur fast jede Auswahl von ergibt eine richtige Einbettung.
Wenn weit vom Optimum entfernt ist, haben Sie sehr wahrscheinlich immer noch eine gute Einbettung im topologischen Sinne, aber die Struktur des Attraktors wird aus visueller Sicht unnötig kompliziert und die weitere Analyse Ihrer Ergebnisse wird schwieriger.
Beispiel: Fraser und Swinney, PRA 33, 1134 (1986) enthält einige anschauliche Beispiele, insbesondere in Abb. 1.
Also, wenn Sie wählen Und nicht optimal, können Sie dennoch aussagekräftige Ergebnisse erzielen. Denken Sie daran, dass die Attraktorrekonstruktion nur die Topologie des Attraktors enthüllen kann und topologisch äquivalente Formen aufgrund anderer Kriterien sehr unterschiedlich sein können. Beachten Sie schließlich, dass es keinen direkten Weg gibt, um ein Optimum zu erhalten Und für empirische Daten – Sie können nicht wissen, ob Ihre Entscheidungen gut sind, bevor Sie sich die Ergebnisse tatsächlich angesehen haben (und selbst dann kann es schwierig sein, dies zu sagen).
Ich glaube nicht, dass die Zeitverzögerung kritisch ist. Die Auswahl eines schlechten kann bedeuten, dass Sie mehr Daten analysieren müssen, um den Phasenraum zu füllen, aber es sollte ihn dennoch generieren, wenn genügend Zeit vorhanden ist. Was den Bedeutungsaspekt betrifft, so hängt dieser entscheidend von der Einbettungsdimension ab. Üblicherweise nutzt man die menschliche Fähigkeit zur Mustererkennung, um aus solchen Daten Bedeutungen zu extrahieren. Wenn die Einbettungsdimension schlecht gewählt ist, sehen Sie nur einen Teil des Phasenraums, was die Mustererkennung erschweren kann.
Ob dieses Unterfangen eine wirkliche Bedeutung hat, hängt vom Grad der Universalität in der Klasse der nichtlinearen Probleme ab, die Sie untersuchen.
Kasra Manshaei