Eine Frage zum Satz von Liouville

Ich habe einige Zweifel am Liouville-Theorem , wahrscheinlich ist es nur etwas Konzeptuelles.

Also: Ich weiß, dass für ein System, in dem der Satz von Liouville gilt, das Volumen im Phasenraum erhalten bleibt.

Aber die Erhaltung des Volumens impliziert sofort das Fehlen asymptotisch stabiler Punkte.

Wenn jedoch der Hamiltonoperator zeitabhängig ist und insbesondere seine zeitliche Ableitung entlang der Phasenkurven negativ ist, besitzt ein System asymptotisch stabile Punkte.

Für dieses System gelten immer noch Hamilton-Gleichungen, daher ist es ein Hamilton-System.

Aber der Satz von Liouville gilt nicht mehr.

Meine Frage: Für welche Art von Systemen gilt der Satz von Liouville? Zum Beispiel: Der gedumpte Oszillator hat einen asymptotisch stabilen Punkt.

Ich verstehe, wir verwenden unterschiedliche Vorstellungen von asymptotisch stabilen Punkten! Ich lösche meine Antwort, weil sie falsch ist!
Was ist der gedumpte harmonische Oszillator ? Oder meinst du den gedämpften harmonischen Oszillator ?
Ich glaube nicht, dass der gedämpfte harmonische Oszillator (mit Bewegungsgleichung X ¨ + A X ˙ + B X = 0 ) ist ein Hamiltonsches System. Die Dissipation ist von Natur aus nicht hamiltonisch und verstößt gegen das Theorem von Liouville.

Antworten (1)

Der Satz von Liouville gilt für alle Hamiltonschen Systeme .

Wenn Sie einen asymptotisch stabilen Punkt definieren X ∗ bedeutet, dass Trajektorien aus Punkten X in irgendeiner Nachbarschaft von X ∗ dazu neigen X ∗ als T → ∞ , Dann

  1. Phasenraumvolumen und/oder Dichte nahe X ∗ sind nicht konserviert
  2. und das System kann nicht hamiltonsch sein (wegen des Satzes von Liouville).

Ein Beispiel für ein solches nicht-Hamiltonsches System ist tatsächlich der ungezwungene gedämpfte harmonische Oszillator

X ¨ + C X ˙ + k X = 0

mit C ≠ 0 .

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