Chaos und Integrierbarkeit in der klassischen Mechanik

Der entscheidende Punkt hier ist, dass jedes dynamische System , das nicht vollständig integrierbar ist, chaotische Regime aufweisen wird ¹ . Mit anderen Worten, nicht alle Bahnen liegen auf einem invarianten Torus (Liouvilles Torus ist die topologische Struktur eines vollständig integrierbaren Systems), im Prinzip kann ein chaotisches System für einige Anfangsbedingungen sogar geschlossene stabile periodische Bahnen haben (typisch für reguläre / integrierbare Systeme). , hat die Menge solcher Bedingungen das Maß Null (was bedeutet, dass die Zustände auf dieser Umlaufbahn nur von anderen Zuständen derselben Umlaufbahn aus erreichbar sind).

Um sich mit solchen Konzepten vertraut zu machen, schlage ich vor, sich mit dynamischem 2D-Billard zu befassen . Diese Modelle sind von großem Interesse, da ihre Dynamik ausschließlich durch die Form der Grenze definiert wird, kreisförmig, ellipsoid, Stadion usw. Nun wäre ein interessantes Beispiel, das hier präsentiert werden sollte, die oval geformte Grenze (beachten Sie, dass kreisförmige und ellipsoide Billards aufgrund ihrer Form regelmäßig sind Symmetrien):

Im obigen Bild (von Tureci, Hakan, et al. 2002) sehen Sie links die Poincaré-Karte ² des ovalen 2D-Billards (mit spiegelnder Reflexion), und rechts sehen Sie 3 Beispiele für verschiedene Regime des Systems. Dies ist ein perfektes Beispiel für ein System, das nur lokal integrierbare Regionen zulässt. Fall a) entspricht einer quasi-periodischen Umlaufbahn, nur marginal stabil. Fall b) zeigt eine stabile periodische Umlaufbahn, die von einer stabilen Insel umgeben ist, und schließlich zeigt Fall c), der der Gesamtheit der dicht gepunkteten Regionen der Karte entspricht, eine chaotische Bewegung an. Zur weiteren Lektüre schlage ich vor, einige der Artikel auf Scholarpedia zu lesen und natürlich diese fantastische Rezension von A. Douglas Stone nicht zu verpassen .

^{1 Zum Beispiel alle nichtlinearen Systeme, die nicht nach Liouville integrierbar sind (wie in den Kommentaren erklärt). Beachten Sie, dass lineare Systeme immer durch Potenzierung gelöst werden können. Allerdings muss man sich vor Unterscheidungen zwischen Lösbarkeit und Integrierbarkeit hüten.}

^{2 Diese Karten erhält man, indem man einen Poincaré-Abschnitt wählt und den Schnittpunkt der Trajektorien im Phasenraum mit diesem Abschnitt findet. Solche Karten ermöglichen eine Darstellung der Entwicklung jedes dynamischen Systems, unabhängig von der beteiligten Dynamik. Für mehr Intuition siehe hier .}