Physikalische Intuition hinter dem Poincaré-Bendixson-Theorem

Ein wichtiges Merkmal der chaotischen Dynamik ist, dass sie wiederkehrend ist, dh jede Trajektorie kommt ihrem Ausgangspunkt schließlich willkürlich nahe.

Angenommen, es gibt eine chaotische Dynamik mit kontinuierlicher Zeit in einem zweidimensionalen Phasenraum. Betrachten wir die Trajektorie ausgehend von einem Punkt A. Da die Dynamik wiederkehrend ist, muss es einen Punkt B auf der Trajektorie ausgehend von A geben, der so nahe daran liegt, dass die Phasenraumströmung auf der Linie von nicht die Richtung ändert A bis B¹²:

Betrachten Sie nun die Schleife, die durch die Flugbahn zwischen A und B (Cyan) und die Linie von A nach B (Rot) geschlossen wird. Die Flugbahn wird auf beiden Seiten dieser Schleife nach B gefangen: Sie kann die Flugbahn nicht kreuzen, weil sich Flugbahnen nicht schneiden können, und sie kann die Linie nicht kreuzen, weil der Phasenraumfluss in die andere Richtung geht. Im obigen Beispiel ist die Flugbahn innen gefangen und muss daher spiralförmig nach innen verlaufen; aber es könnte genauso gut spiralförmig sein. In jedem Fall kann die Trajektorie A niemals näher kommen als B, was der Forderung nach Wiederholung widersprechen würde. Daher sind die einzigen wiederkehrenden Dynamiken in zwei Dimensionen periodische Umlaufbahnen.

In drei Dimensionen ist das anders, weil die Trajektorie den Phasenraum nicht in zwei Teile teilen kann.

Für zeitdiskrete Systeme gibt es zunächst keine Trajektorien, die etwas einfangen könnten.

^{¹ Wenn Sie einen solchen Punkt nicht finden können, ist die Phasenraumströmung um A diskontinuierlich, wie es in physikalischen Systemen nicht vorkommt.
² Wenn B identisch mit A ist, ist die Dynamik periodisch und nicht chaotisch.}

In einem 2D-Fluss ist nicht genug Platz für Chaos.

Es kommt darauf an, dass die Lösungen des Systems glatte 1D-Kurven in einem 2D-Raum sind: Aufgrund der Eindeutigkeit können sich diese Kurven nicht kreuzen (sie können sich an speziellen Punkten [homoklin oder heteroklin] treffen, aber nur asymptotisch), und das schränkt die möglichen Endzustände stark ein . Besonders wichtig ist das Jordan-Kurven-Theorem : Wenn sich eine Lösung in sich selbst schließt (eine Schleife/einen Zyklus bildet), teilt sie den Raum in Innen- und Außenregionen; und deshalb bleiben alle Lösungen im Inneren drin, so dass Sie nur Fixpunkte, Zyklen und Spiralen haben können.

In diskreten Systemen springt die Trajektorie von einem Punkt zum anderen, sodass es keine solche Einschränkung gibt und selbst 1D-Karten ein Chaos aufweisen können.

An jedem Punkt entlang einer chaotischen Trajektorie müssen die folgenden drei Richtungen existieren:

• Eine Richtung der Zeit, entlang der die Trajektorie verläuft.
• Eine Ausdehnungsrichtung, entlang der die Phasenraumströmung divergiert, sodass Sie Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen haben können.
• Eine Kontraktionsrichtung, entlang der die Phasenraumströmung konvergiert, so dass die gesamte Dynamik begrenzt und wiederkehrend bleibt.

Genau genommen gilt dies nur im Mittel, zB kann die expandierende Dimension aufgrund der Verformung des Phasenraums lokal konvergieren.

Da die Phasenraumströmung eine lokal linearisierbare Strömung ist, müssen diese Richtungen linear unabhängig sein. Somit benötigt jede Richtung ihre eigene Dimension. Für zeitdiskrete Systeme gilt dies nicht mehr: Der Zustand ändert sich nicht in einem Fluss, sondern springt überall zwischen Zeitschritten hin und her.