Die natürliche Metrik eines Phasenraums und der Lyapunov-Exponent

Es wurde von Eichhorn, Linz und Hänggi im Jahr 2000 gezeigt, dass die numerischen Werte von Lyapunov-Exponenten unter jeder invertierbaren Variablentransformation invariant sind. Dies ist nur eine Umformulierung der Tatsache, dass sie metrisch invariant sind, weil die Autoren die Norm voraussetzen$|\cdot|$eine willkürliche Norm in den gegebenen Koordinaten zu sein - es genügen schon seine Grundeigenschaften wie Linearität.

Um etwas Intuition dafür zu bekommen - Lyapunov-Exponenten sind mit der Haussdorf- oder fraktalen Dimension der Flugbahn verknüpft. Obwohl die Hausdorff-Dimension auf einem metrischen Raum definiert ist, haben wir eine Intuition, dass eine fraktale Dimension eigentlich eher eine Eigenschaft einer differentiellen Struktur als eine spezifische Vorstellung von Länge/Oberfläche/Volumen ist. Die Metrik ist nur ein Griff, um zur fraktalen Dimension zu gelangen, aber sie ist von Natur aus nicht metrisch. Wir können den Erwerb von Lyapunov-Exponenten auf ähnliche Weise verstehen - die Metrik ist nur ein Griff und wir wählen willkürlich einen aus.

Eine zweite Möglichkeit, eine Intuition zu bekommen, ist die explizite Definition der Exponenten$\lambda$über die lineare Variation$\delta x(t)$zeitlich gewachsen:

$$\lambda = \lim_{t\to \infty} \frac{\log |\delta x(t)|}{t}$$ Nehmen wir das an $\delta x(t) = e^{\mu t}\delta x(0)$. Dann aus der Linearität der Norm, die wir haben $|\delta x(t)| = e^{\mu t} |\delta x(0)|$und die Grenzerträge $$\lambda = \lim_{t \to \infty} (\frac{\mu t}{t} + \frac{\log |\delta x(0)|}{t})$$ Der zweite Begriff stirbt ab und wir haben $\lambda=\mu$für jede positive bestimmte lineare $|\cdot|$. Dh man bekommt die gleiche Zahl mit einer anderen Norm und somit gibt der Lyapunov-Exponent etwas an, was mit einer von der Metrik unabhängigen „relativen Wachstumsrate“ verbunden ist. Dieses Argument weist einige Schlupflöcher auf, die in dem oben zitierten Artikel behandelt werden.