Was erzeugt die chaotische Bewegung eines Doppelpendels?

Wie wir wissen, hat das Doppelpendel eine chaotische Bewegung. Aber warum ist das so? Ich meine, die Masse der beiden Pendel ist gleich und sie haben die gleiche Länge. Aber was macht seine Bewegung zufällig?

Ich bin nur ein Highschool-Kind. Versuchen Sie also, die Antworten verständlich zu formulieren.

Ähnlich: Was ist die höchste Energieposition für ein Doppelpendel? Und für welche Energiepositionen ist es chaotisch? physical.stackexchange.com/q/13268user929304 , Nicht-Integrierbarkeit des 2D-Doppelpendels physical.stackexchange.com/q/142238

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Chaotisch ist nicht dasselbe wie zufällig. Ein chaotisches System ist vollständig deterministisch, während ein zufälliges System vollständig nicht deterministisch ist. Chaotisch bedeutet, dass infinitesimal nahe Anfangsbedingungen zu beliebig großen Abweichungen führen, wenn sich das System entwickelt. Aber es ist praktisch unmöglich, dieselben Anfangsbedingungen zweimal zu reproduzieren. Mit genügend Zeit sehen zwei identische Setups, die auf möglichst identische Anfangsbedingungen eingestellt sind, völlig unterschiedlich aus.

Schön geschrieben. Abhängig vom Bildungsniveau des OP (einige Gymnasien haben ein paar Jahre Kalkül zur Verfügung) kann es sich lohnen, die Doppelpendelgleichung zu schreiben und nur darauf hinzuweisen, was die Anfangsphase (n) mit dem eigenen Versuch, eine Lösung zu finden, bewirken.
Ich glaube nicht, dass dies die Frage beantwortet, was meiner Meinung nach so ist, wie GreenAsJade unten feststellt. Dies beschreibt nur, was Chaos ist, es identifiziert nicht, welche Merkmale das Doppelpendel in einigen Fällen chaotisch machen.

Vielleicht ist eine bessere Frage zu stellen: Warum ist ein einzelnes Pendel nicht chaotisch? Fast alle realen Systeme sind zumindest teilweise chaotisch; Die Tatsache, dass wir die Lösung für ein einziges Pendel für alle Zeitpunkte aufschreiben können, ist wirklich ziemlich eigenartig und nur wahr, weil es sich um ein stark vereinfachtes System handelt. Der Grund, warum diese nicht-chaotischen Systeme in Lehrbüchern so weit verbreitet sind, liegt darin, dass wir Menschen mit unserem besonderen mathematischen Instrumentarium und unseren begrenzten Rechenfähigkeiten in der Vergangenheit aggressiv nach solchen idealisierten Systemen gesucht haben.

Ideale Dinge sind perfekt. Da Luft inkonsistent ist, braucht man für eine genaue Vorhersage nur die abweichenden Faktoren zu addieren. Sobald die Formel für ein Pendel im Seitenwind (natürlich abhängig von seiner genauen Form, die auch schwer vorherzusagen ist) genug benötigt wird, werden die Leute versuchen, eine zu erstellen. Oder verwenden Sie einfach ein Modell mit stärker als erwarteten Winden.
Ich habe nicht das Gefühl, dass dies die zugrunde liegende Frage beantwortet, nämlich "was ist es, das chaotisches Verhalten erscheinen lässt". Die Einsicht, dass einige Systeme (und einzelne Pendel gehören nicht dazu) ein abweichendes Verhalten haben, das von infinitesimalen Änderungen der Eingangsbedingungen abhängt, ist hier der Schlüssel.
Ich stimme zu, dass meine keine Antwort ist; aber beachten Sie, dass ich es nicht als solches dargestellt habe. Aber im Gegensatz zu Ihrer Behauptung würde ich argumentieren, dass die Aufzählung der Eigenschaften eines chaotischen Systems nicht viel dazu beiträgt, zu erklären, wie diese Eigenschaften entstehen. Ich würde sagen, dass die Annahme, dass „Chaos“ die Norm ist, eine Schlüsseleinsicht ist, und dass es aufschlussreicher ist, darüber nachzudenken, warum manche Systeme integrierbar sind.
Empfohlene Lektüre ist „Die Gesetze des Chaos“ von Ilya Prigogine. Auch in der klassischen Mechanik ist er ein starker Verfechter von intrinsisch chaotischen Gesetzen.
@EelcoHoogendoorn: Die Frage umzudrehen könnte eine nützliche Einsicht sein, aber es ist hier immer noch eine unbeantwortete Frage. Warum ist das einfache Pendel integrierbar, das Doppelpendel jedoch nicht? Wie erkennt man, ob ein System integrierbar ist oder nicht?

Die billige und einfache Antwort darauf ist, dass das Doppelpendel als chaotisch gilt, weil es (unter anderem) sehr empfindlich auf kleine Störungen der Anfangsbedingungen reagiert. Dies mathematisch zu zeigen mag schwierig sein (siehe die Lagrange-Formel für die Dynamik), aber wenn man sich die Animationen auf der Wikipedia-Seite ansiehtWenn man die Flugbahn des Doppelpendels zeigt, sollte der intuitive Grund für diese Empfindlichkeit offensichtlich werden. Es gibt viele Punkte in der Flugbahn, an denen die Beschleunigungsrate des äußeren Pendels stark vom genauen Winkel des oberen Pendels abhängt, wenn es herumgepeitscht wird. Wenn sich das innere Pendel an einer geringfügig anderen Stelle befindet, wird das äußere Pendel mit einer ganz anderen Geschwindigkeit herumgepeitscht, wodurch sich ändert, wie „gekoppelt“ die beiden Pendel sind. Manchmal ist der Effekt, sie zusammenzubinden, als wären sie eine Schnur an einer Standuhr. Manchmal führt es dazu, dass sie in ihrer Position fast perfekt gegensätzlich sind und ihr eigenes Ding machen.

Jedes Mal, wenn es einen dieser Zustände erreicht, reagiert es sehr empfindlich auf die Anfangsbedingungen, die es in diesen Zustand führen. Eine Sichtstörung auf dem Weg könnte später beliebig verstärkte Auswirkungen haben.

Gleiches Problem. Dies gibt nur an, wie man chaotische Bewegungen erkennt, wenn sie auftreten. Es identifiziert nicht, was es mit dem System auf sich hat, das seine Bewegung für einige Parameter und Anfangsbedingungen chaotisch macht.
@sammygerbil Ich habe die Wikipedia-Seite für diejenigen verlinkt, die mehr wissen möchten. Das OP erwähnte, dass ich in der Highschool war, also vermied ich es, den Beweis dafür aufzuschreiben, warum das Doppelpendelsystem chaotisch ist. Es erfordert Differentialgleichungen und eine formale Definition von "chaotisch". Die Definition, die ich normalerweise verwende, beinhaltet eine Störungsanalyse über diese Differentialgleichungen. Ich ließ diese mathematischen Ausdrücke beiseite und konzentrierte mich auf ein intuitives Gefühl eines klaren Punktes im Weg der Pendel, wo die Intuition zeigen kann, dass der Weg des Pendels aufgrund kleiner Störungen stark variieren wird.
Vielen Dank für den Hinweis auf den Link. Bedeutet dies, dass das Doppelpendel nicht chaotisch sein wird, wenn es nicht genug Energie hat, um umzuschlagen? Das ist die Art von Funktion, die ich suche. Wie erkennen Sie mit dem intuitiven Ansatz die Krisenpunkte oder Konfigurationen?
@sammygerbil Diese Frage wird schnell kompliziert, weil es keine einzige Trennlinie im Sand zwischen chaotisch und nicht chaotisch gibt. Die Linie wird basierend auf Ihrer gewählten Basis gezogen und ist an einem bestimmten Punkt wirklich nur eine Störungsanalyse. Wenn Sie zeigen, dass für eine bestimmte Basis die Wirkung einer Störung exponentiell mit der Zeit wächst, ist es chaotisch. Der "Flip" ist bequem, weil es einfach ist, die Basis zu definieren. Sie können eine Funktion als „Zeitdauer bis zum Umklappen des Pendels“ definieren, und diese Funktion zeigt chaotisches Verhalten. Irgendwann kommt es jedoch zur Semantik.
Ich empfehle (Chaotic Dynamics) [ en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory#Chaotic_dynamics] von Wikipedia zum Thema, was ein chaotisches System ist. Es ist eine sehr gut formulierte Lektüre. Eine wichtige Sache, die sie erwähnen, ist das Konzept der Lyapunov-Exponenten, die angeben, wie schnell zwei Systeme auseinanderlaufen. Wenn wir davon sprechen, dass ein System chaotisch ist, bedeutet dies typischerweise einen Lyapunov-Exponenten > 1 zwischen Störungen, was bedeutet, dass die Auswirkung der Störung exponentiell wächst.
Ja, vielleicht ist die Antwort da ("Minimum Complexity of a Chaotic System"). Wenn ich das richtig verstehe, hängt es von Dimensionalität und/oder Nichtlinearität ab.

Aus mathematischer Sicht entsteht ein deterministisches Chaos oder eine sensible Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, wenn es mehr als 2 Dimensionen oder Variablen gibt, zusammen mit einer ausreichend komplexen Beziehung zwischen diesen Variablen, wie z. B. Nichtlinearität und/oder Kopplung.

Es gibt 4 Variablen in einem Doppelpendel, zwei Winkel und zwei Winkelgeschwindigkeiten. Die mathematische Beziehung zwischen diesen Variablen beinhaltet Quadrate (Nichtlinearität) sowie Sinus und Cosinus (mehr Nichtlinearität) beider Winkel in derselben Gleichung (Kopplung).

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bildquelle: Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos

Was erzeugt die chaotische Bewegung eines Doppelpendels?
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