Unterschied zwischen instabilem Fixpunkt und chaotischem Punkt

Die von Ihnen zitierte Definition¹ gilt nur für die unmittelbare Nähe eines Fixpunktes (fettgedruckte Mine):

In diesem einfachen Fall sind die LEs$λ_i$sind die Realteile der Eigenwerte.

Im Allgemeinen sind Lyapunov-Exponenten Eigenschaften der Dynamik, nicht eines bestimmten Punktes². Grob gesagt sind sie ein zeitlicher Mittelwert der Projektion des Jacobi in eine bestimmte Richtung entlang der Trajektorie. Analog ist Chaos eine Eigenschaft einer Dynamik oder eines Satzes von Trajektorien (eines chaotischen Attraktors, Sattels, vorübergehenden oder unveränderlichen Satzes), nicht eines Fixpunkts.

Wenn Sie einen stabilen Fixpunkt betrachten, wird eine Trajektorie innerhalb seines Anziehungsbeckens für diesen Durchschnitt sehr nahe am Fixpunkt liegen, und Sie haben die zitierte Definition¹ erhalten. Für einen instabilen Fixpunkt wird sich fast jede Trajektorie schließlich von ihm entfernen und ihre Art der Dynamik (Fixpunkt, periodisch, Chaos, …) hängt von der Struktur der Phasenraumströmung in Regionen ab, die vom instabilen Fixpunkt entfernt sind. Die Natur eines Fixpunkts sagt also nichts darüber aus, ob ein System chaotisch ist oder nicht.

Ihr zweites Zitat spielt auf Folgendes an: Chaos erfordert nicht nur einen positiven Lyapunov-Exponenten, sondern auch eine begrenzte Dynamik. Zum Beispiel,$\dot{x} = x$hat auch einen positiven Lyapunov-Exponenten, ist aber nicht chaotisch – er ist unbegrenzt und faltet nicht zurück (siehe auch diese Frage zu Math SE).

^{¹ „Gegeben ein dynamisches System$\dot{\vec{x}}=\vec{F}(\vec{x})$und ein Fixpunkt$\vec{x}_0$so dass$\vec{F}(\vec{x}_0)=\vec{0}$, sind die Lyapunov-Exponenten als Realteile der relevanten Jacobi-Eigenwerte definiert.“
² „Es gibt auch einen Begriff von lokalen/augenblicklichen/… Lyapunov-Exponenten, aber das ist wahrscheinlich nicht das, wonach Sie fragen, und spielt bei der Definition von Chaos keine Rolle. ³ „Ein strikt positiver maximaler Lyapunov-Exponent wird oft als Definition von deterministischem Chaos betrachtet. Dies macht nur Sinn, wenn die entsprechende instabile Mannigfaltigkeit zurückgefaltet bleibt und in einem begrenzten Bereich eingeschlossen bleibt (ein instabiler Fixpunkt ist NICHT chaotisch)“}

Klassisches Chaos erfordert zusätzlich zu einer sensiblen Abhängigkeit von Anfangsbedingungen (positiver maximaler LE), dass sich Trajektorien vermischen. Betrachten wir zum Beispiel einen Streuer mit einer einzelnen harten Kugel. Wenn der Aufprallparameter +/- null ist, werden kleine Störungen das Partikel in verschiedene Richtungen schicken. Aber um das System chaotisch zu machen, müssen Sie die Trajektorien so einschränken, dass sie sich mischen und den Phasenraum (oder realen Raum) wie im Bunimovich-Stadion ausfüllen können. Ich denke, das ist der Punkt der Eigenschaft, die Sie zitieren.

Hier ist ein Bild von Hans-Jürgen Stöckmann, das den Punkt verdeutlicht. Diese Vorstellung geht über ins Quanten- oder Wellenchaos, wo wir statt Trajektorien die asymptotischen Eigenschaften der Knotengebiete von Dirichlet-Eigenfunktionen betrachten. In diesem Fall zeigen sich "Narben" als gespenstische Überreste instabiler periodischer Trajektorien. Hoffe, das hattest du im Sinn.